2 n größer gleich n 1

Ich habe im Internet geschaut als ich nicht weiter gekommen bin jedoch verstehe ich den angemalten Schritt nicht. Wie kann man das so umformen?

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So funktioniert das nicht. Du musst eine Kette von Abschätzung machen. Du beginnst mit 2^(n+1) und schätz unter der Benutzung der Induktionsannahme (IA) nach unten ab, also am Ende steht was in der Form:

2^(n+1) = … (IA) >= … >= … >= … = 2(n+1) + 1.

Da allerdings die Aussage für n = 0, aber nicht für n=1 und n=2 gilt, muss du noch was berücksichtigen bei deiner Abschätzung.

Woher ich das weiß:Studium / Ausbildung – Derzeit im Mathematik-Studium.

Das ist die IV eingesetzt

Edit: Ich hab was übersehen, in die Richtung verstehe ich es auch nicht. Finde die ganze Methodik aber etwas komisch.

Woher ich das weiß:Beruf – Selbsternannter Community-Experte für Mathematik und Physik

Für n+1:

2(n+1)+1=2n+2+1=(2n+1)+2<=(2n+1)+(2n+1)=2*(2n+1)

Nutze IV:

2*(2n+1)<=2*2^n=2^(n+1).

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Hallo,

die linke Ungleichung ist schnell gezeigt. Klammere es doch mal komplett aus. Du erhälst

\( 2n + 2 \leq n^2 +2n +1 -1 \\ 2n + 2 \leq n^2 +2n \\ 2 \leq n^2 \)

Und dies gilt natürlich für alle \( n \geq 4 \).

Nun musst du noch zeigen \( (n+1)^2 -1 \leq 2^{n+1} - 1 \\ (n+1)^2 \leq 2\cdot 2^n  \)

Als Tipp dafür. Schätze \( (n+1)^2 \) nach oben ab, mit 

\( (n+1)^2 < n^2 + n^2 \)

Wenn du gezeigt hast, das die Abschätzung gilt, gilt auch die Ungleichung, da dann 

\( n^2 + n^2 \leq 2 \cdot 2^n = 2^n + 2^n \\ n^2 \leq 2^n \)

direkt durch die Induktionsvorraussetzung erfüllt wird.

Grüße Christian

"vollständige Induktion"sbeweise gehen meistens so von der Hand:

Basis: n = 1, 2^1 > 1 ✓ (wahre Aussage)

(Induktionsvoraussetzung: 2^n > n)

Induktionsschritt: 2^{n + 1} = 2^n * 2 > n * 2 > n + 1 ✓ (wahre Aussage) q.e.d.

Das Prinzip ist, dass die Aussage H(n) für eine bestimmte "Basis" ("Induktionsanfang") bewiesen wird. Dann wird unter H(n) (Induktionsvoraussetzung) bewiesen, dass H(n + 1) gilt. Das heißt, dass dann die gesamte Aussage H(n) für alle n größer gleich dem Startwert (hier n = 1) gilt, da sie für 1, 1+1=2, 2+1=3, 3+1=4, ... (n)+1 = (n+1) gilt.

Die anderen beiden Aussagen kannst du vielleicht jetzt selber rechnen.

MfG

Mister

Beantwortet 3 Sep 2013 von Mister 8,9 k

1 Antwort

Den Induktionsanfang solltest du für n=4 machen:

24≥42.

Für den Induktionsschluss musst du einen Hilfssatz beweisen:

2n≥2n+1

Wenn das bewiesen ist, wird diese Ungleichung zur Induktionsvoraussetzung addiert: 2n+2n≥n2+2n+1

oder 2·2n≥(n+1)2

oder 2n+1≥(n+1)2.

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