Bedeutung des arithmetischen Mittels
Um die Bedeutung des arithmetischen Mittels für deine Daten einzuschätzen, solltest du folgende zwei Punkte beachten. Für ein besseres Verständnis wenden wir die einzelnen Punkte wieder auf unser Körpergrößen-Beispiel an.
- Die Summe aller Abweichungen, die die Einzeldaten vom arithmetischen Mittel haben, ist $0$.
Beispiel
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$(162-\textcolor{red}{163,6})+(156-\textcolor{red}{163,6})+(172-\textcolor{red}{163,6})+(177-\textcolor{red}{163,6})+(151-\textcolor{red}{163,6})$
$= (-1,6)+(-7,6)+8,4+13,4+(-12,6)$
$= 0$
- Die Summe aller Einzeldaten ist genauso groß, wie $N$ mal das arithmetische Mittel.
Beispiel
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$162~+~156~+~172~+~177~+~151~=~818$
$N$ (=Anzahl der Befragten) ist $5$.
$5 \cdot \textcolor{red}{163,6} = 818$
Rechnen mit dem arithmetischen Mittel
Beim Rechnen mit dem arithmetischen Mittel unterscheiden wir zwei unterschiedliche Aufgabentypen:
- Die Daten sollen verändert werden, ohne dass sich das arithmetische Mittel ändert.
- Die Daten sollen so verändert werden, dass das arithmetische Mittel einen gewünschten Wert annimmt.
Schauen wir uns nun beide Fälle an.
Ergänzen von Daten ohne Änderung des arithmetischen Mittels
Folgende Daten sind gegeben: $3, 5, 10, 14$
Unsere Aufgabe lautet einen fünften Wert zu ergänzen, ohne dass sich das arithmetische Mittel ändert.
Berechnen wir also zunächst das arithmetische Mittel, dass die Daten aus der Aufgabestellung ergeben:
$X_{Mittel}= \frac{3+5+10+14}{4} = 8$
Wir sollen die Datenreihe nun um einen fünften Wert erweitern, wobei das arithmetische Mittel den Wert $8$ behalten soll.
$X_{Mittel}= \frac{3+5+10+14 + x_{5}}{5} = 8$
Die Addition der Einzelwerte muss durch $5$ geteilt $8$ ergeben. Die Summe muss also $40$ sein.
$3+5+10+14 + x_{5} = 40$
$x_{5} = 8$
Der fünfte Wert unserer Datenreihe muss also $8$ sein, damit das arithmetische Mittel weiterhin bei $8$ liegt:
$X_{Mittel}= \frac{3+5+10+14 +8}{5} = 8$
Ergänzen von Daten zum Erreichen eines gewünschten arithmetischen Mittels
Folgende Daten sind gegeben: $2, 5, 12, 20$
Unsere Aufgabe ist es einen fünften Wert zu ergänzen, sodass das arithmetische Mittel den Wert $9$ hat.
Berechnen wir zunächst das arithmetische Mittel der vier gegebenen Daten:
$X_{Mittel}= \frac{2+5+12+20}{4} = 9,75$
$X_{Mittel}= \frac{2+5+12+20 + x_{5}}{5} = 9$
Damit das arithmetische Mittel bei fünf Daten den Wert $9$ annimmt, muss die Summe der Einzeldaten $45$ sein.
$2+5+12+20 + x_{5} = 45$
$x_{5} = 6$
Der fünfte Wert der Datenreihe muss eine $6$ sein, damit das arithmetische Mittel $9$ ist:
$X_{Mittel}= \frac{2+5+12+20+6}{5} = 9$
Mit den Übungsaufgaben kannst du überprüfen, ob du alles richtig verstanden hast. Viel Erfolg dabei!
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Der allgemein bekannte Durchschnitt ist in der Statistik das arithmetische Mittel. Errechnet hat ihn schon jeder: Man addiert die Werte, deren Mittelwert gesucht wird und teilt sie durch ihre Anzahl. Wenn Sie lesen, dass deutsche Männer im Schnitt 83,6 Kilogramm wiegen, muss zuvor diese Rechnung vollzogen worden sein. Gewicht aller Männer geteilt durch Anzahl der Befragten, ganz einfach. In der Statistik konkurriert das arithmetische Mittel noch mit einem anderen Durchschnittswert: dem Median.
Der Median ist der Wert, der in der Mitte liegt. Wenn etwa die durchschnittliche Körpergröße von fünf Jungen aus der achten Klasse gesucht wird, zeigt das folgende Beispiel die Berechnung des Median. Die Größe der Jungen in Zentimeter: 156, 146, 136, 167 und 177. Werden die Zahlen sortiert und genau die gewählt, die in der Mitte liegt, ergibt das: 156. Diese Zahl hat links genauso viele Nachbarn wie rechts. Der Median findet sich also ohne Rechnerei. Das ist nicht der einzige Vorteil: Er ist robust gegen Ausreißer. Angenommen statt des größten Mitschülers stellt sich nun der größte Mensch der Welt zu den Achtklässlern. Dann hätten wir 157, 146, 136, 167 und 257 Zentimeter (statt 177). Der Median bliebe von dem Ausreißer unberührt. Er wäre immer noch 157. Das arithmetische Mittel sähe anders aus: Man addiert alle Zahlen, also 157 plus 146 plus 136 plus 167 plus 257, ergibt 863, das geteilt durch fünf ergibt 172,6. Der Durchschnitt wäre beim arithmetischen Mittel also etwa 173 Zentimeter, obwohl nur zwei Personen über 1,70 Meter groß sind. Der Median wäre also in diesem Fall aussagekräftiger als das arithmetische Mittel.
Für qualitative Merkmale bietet sich als Durchschnitt lediglich der Modus oder Modalwert an, der dritte Mitspieler des Durchschnitts. Dieser zeigt den häufigsten Wert einer Verteilung an, also den Wert mit der größten Wahrscheinlichkeit. Da eine Verteilung, wenn man sie graphisch darstellt, mehrere Höhepunkte oder Gipfel haben kann, können einer Verteilung auch mehrere Modi (bimodal, multimodal) zugeordnet sein. Gibt es nur einen Modalwert, so nennt man die Verteilung unimodal. Wenn etwa in der Klasse 6 b die Mehrheit der Schüler braunhaarig ist, ist die Verteilung unimodal. Sind aber etwa so viele braunhaarige in der Klasse wie Blonde, ist die Verteilung bimodal.
Die Statistik bietet jedoch mehr Möglichkeiten ein Ergebnis zu beschreiben, als nur die Mitte einer Verteilung zu betrachten.
Weiter mit der "Definition zur Standardabweichung".
Bitte beachten Sie, dass es sich bei den einzelnen Definitionen in unserem Statistik-Lexikon um vereinfachte Erläuterungen handelt. Hierbei ist es das Ziel, die einzelnen Begriffe einer möglichst breiten Nutzergruppe näher zu bringen. Insofern besteht die Möglichkeit, dass einzelne Definitionen wissenschaftlichen Standards nicht zur Gänze entsprechen.