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Wendepunkt Definition
Ein Wendepunkt ist ein Punkt auf einer Funktion, an dem sich das Vorzeichen der Krümmung der Funktion ändert.
Anschaulich bedeutet dies, dass der Funktionsgraph dort von einer Rechtskurve (konkave Kurve) zu einer Linkskurve (konvexe Kurve) wechselt oder umgekehrt.
Was ist der Unterschied zwischen einem Wendepunkt und einer Wendestelle?
Der Unterschied zwischen einem Wendepunkt und einer Wendestelle liegt im Unterschied zwischen den Begriffen Punkt und Stelle. Während \(x\) eine Stelle ist, ist \(\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\) ein Punkt. Mit Stelle ist also nur
der \(x\)-Wert gemeint. Mit Punkt ist das Wertepaar \((x|y)\) gemeint.
Hat eine Funktion \(f\) einen Wendepunkt bei \((x|y)\), so hat sie eine Wendestelle bei \(x\). Anders herum kann man sagen: Hat eine Funktion \(f\) eine Wendestelle bei \(x\), so hat sie einen Wendepunkt bei \(x|f(x))=(x|y)\).
Der Unterschied liegt also darin, dass bei einem Wendepunkt der \(y\)-Wert mitangegeben ist und bei einer Wendestelle nicht.
Die Funktion \(f(x)=x+(x-1)^3\) hat an der Stelle \(x=1\) eine Wendestelle. Der Wendepunkt lautet \(\begin{pmatrix}1\\f(1)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\). Der Funktionsgraph der Funktion \(f\) sowie der Wendepunkt sind in der nächsten Grafik dargestellt.
Sattelpunkt bzw. Terassenpunkt
Es gibt einen besonderen Typ unter den Wendepunkten. Man nennt ihn Sattelpunkt bzw. Terassenpunkt. Ein Terassenpunkt ist ein Wendepunkt, an dessen Stelle die Funktion die Steigung Null hat.
Die Funktion \(f(x)=3+(x-2)^3\) hat an der Stelle \(x=2\) einen Terassenpunkt. Der Terassenpunkt lautet \(\begin{pmatrix}2\\f(2)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}\). Der Funktionsgraph der Funktion \(f\) sowie der Terassenpunkt sind in der nächsten Grafik dargestellt.
Weiterführende Artikel:
- Wendepunkt berechnen
- Periodizität und Frequenz einer Funktion
In diesem Artikel geht es um den Unterschied zwischen Extremwerten, Extremstellen und Extrempunkten. Auf weiterführende Artikel aus diesem Bereich wird im Anschluss verlinkt. Dieser Artikel gehört zu unserem Bereich Mathematik.
Nehmen wir einmal die folgende Grafik und sehen uns den Kurvenverlauf an. Dort seht ihr, dass es einen tiefsten Punkt gibt. Ich habe diesen einmal mit einem S gekennzeichnet.
Ich habe alles in ein x-y-Koordinatensystem eingezeichnet. Der Punkt "S" befindet sich also an einer bestimmten Stelle, hat also einen x-Wert und einen y-Wert. Nehmen wir als Beispiel einfach einmal an, der x-Wert sei hier 2 und der y-Wert sei 1. Dann wäre der Punkt S bei S(2;1).
- Der Extrempunkt liegt damit bei x = 2 und y = 1.
- Der Extremwert ist nur der y-Wert davon. Der Extremwert liegt dabei bei y = 1.
- Die Extremstelle ist nur der x-Wert davon. Die Extremstelle liegt bei x = 2.
Mehr zu diesem Thema findet ihr zum Beispiel in unserem Artikel Extremwerte: Hochpunkt und Tiefpunkt
Weitere Links:
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Was ist der Unterschied zwischen Nullpunkt und Nullstelle?4
Antworten
"Punkte" sind immer Angaben mit allen Koordianten, also sprich mit x UND y-Wert. Eine "Stelle" bezeichnet dagegen nur den dazugehörigen x-Wert (in der Angabe x=...). Das gilt nicht nur bei Nullstellen/punkten, sondern bspw. auch bei Extremstellen/Extrempunkten und Wendestellen/Wendepunkten. Also: Wenn man besipilsweise einen Hochpunkt bei (3|5) hat, das ist das ein hochPUNKT. Die
dazugehörige Hochstelle wäre dan x=3. Bei Nullstellen sind die Punktangaben natürlich nicht so sinnvoll, weil der y-Wert ja auf jeden Fall 0 sein muss. Aber dennoch kann man bspw. den Nullpunkt N (-3|0) mit der Nullstelle x=-3 angeben. Die Nageb von Nullpunkten ist damit logischerweise eher nicht gebräuchlich, man gibt einfach bloß die Nullstelle an. Hinweis: Manchmal bezeichnet man auch den Koordiantenursprung als Nullpunkt, das wird dann aber aus dem Zusammenhang klar, was gemeint
ist und das ist auch eher unüblich.
Ein Punkt besteht im Gegesatz zu einer Stelle aus allen zur Verfügung stehenden Koordinaten.
Der Nullpunkt ist bei dem Koordinatensystem bei 0/0. Nullstellen können von Funktion zu Funktion unterschiedlich sein.
ist doch eig das gleiche :S