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Nicht definiert, weil durch beide Varianten 1 und 2 ein Widerspruch entsteht, also keine Eindeutigkeit vorliegt, was in der Mathematik problematisch ist. Dies wird übrigens auch der Grund sein, weshalb viele Taschenrechner bei 00 ein MATH ERROR bzw. - E - ausgeben.
Fazit
Häufig findet man die Antwort:
Verwende das, was für das vorliegende mathematische Problem sinnvoll ist.
Es ist oft sinnvoll 00 = 1 zu verwenden.
Es gibt dazu diverse Literatur und man trifft wie gesagt auf unterschiedliche Handhabungen. In der Informatik setzte sich zum Beispiel 00 = 1 durch. Das kannst du spaßeshalber selbst testen und in Google 0^0 eingeben.
Weiterer Ansatz
Schreiben wir 00 zu 00+0 und nutzen das Potenzgesetz, so entsteht:
00 = 00+0 = 00 · 00
Es muss also gelten: 00 = 00 · 00
Fragt sich also, welche Zahl mit sich selbst multipliziert wieder sich selbst ergibt? Hier fallen uns zwei Zahlen ein, für die das möglich ist:
1 · 1 = 1 und 0 · 0 = 0
Allemein gelöst:
x · x = x | -x
x · x - x = x - x
x · x - x = 0 | x ausklammern
x · (x - 1) = 0
Lösung mit Satz vom Nullprodukt:
x = 0 sowie x = 1
So sehen wir, dass es hier zwei Lösungen mit x = 0 und x = 1 gibt.
Grundsätzlich ist aber 00 = 1 vorzuziehen. Würden wir 00 = 0 wählen, so tauchen in der höheren Mathematik neue Probleme auf.
Ansatz über Grenzwerte
Die Folge \( a_n = \left( \frac{1}{n} \right) ^0 \) hat den Grenzwert 1, da a1=1, a2=1, …
Die Folge \( b_n = \left( \frac{1}{n} \right) ^{\frac{1}{n}} \) hat den Grenzwert 1.
Die Folge \( c_n = \left(d_n\right)^{d_n} \) hat für jede Nullfolge dn auch den Grenzwert 1.
Das Vorgenannte ist kein Beweis für die Richtigkeit der Definition, zeigt aber wesentliche Fälle, für die \( 0^0 = 1 \) gilt.
\( \left(e^{-n}\right)^{\frac{1}{n}} = e^{-1} \) geht übrigens gegen 1, obwohl \( \frac{1}{n} \) und \( e^{-n} \) jeweils gegen 0 gehen.