Das Volumen eines Zylinders zu bestimmen ist nicht nur eine Aufgabe in der Mathematik (=> Geometrie), sondern auch aus anderen naturwissen- schaftlichen Fächern. Dies kann beispielsweise das Fach Chemie sein, in dem man das Volumen eines (ungraduierten) Glaszylinders bestimmen will, der mit Flüssigkeit gefüllt wird.
Auch wenn sich der geometrische Körper “Zylinder” aus zwei Kreisflächen und einer Mantelfläche zusammensetzt, so ist dennoch die Formel zur Bestimmung des Volumens eines Zylinders relativ einfach: Das Volumen = Grundfläche • Höhe des Zylinders
Volumen eines Zylinders
Wie eingangs erwähnt, ist das Volumen eines Zylinder = Grundfläche • Höhe
Ein Zylinder besteht dabei aus zwei Kreisflächen und einer Mantelfläche. Der geometrische Körper entsteht dadurch, das man bei zwei gleichgroßen Kreisen (die genau übereinanderliegen) die gegenüberliegenden Kreisränder miteinander verbindet (siehe dazu nachfolgende Abbildung)
Volumen eines Zylinders
Wie in der Abbildung ersichtlich ist die Grundfläche eines Zylinders immer ein Kreis. Daher wird bei der Volumenberechnung eines Zylinders als Grundfläche immer die Kreisfläche verwendet. Das Volumen eines Zylinders ist also das Produkt aus Kreisfläche und Höhe. Die Formel zur Berechnung eines Zylindervolumens lautet:
V = π · r2 · h
Weitere Formeln in Zusammenhang eines Zylinders:
- Grundfläche eins Zylinders = π · r2
- Mantelfläche eines Zylinders = Umfang · Höhe = 2 · π · r · h
- Oberfläche eines Zylinders = 2 · Grundfläche + Mantelfläche = 2 · π · r2 + 2 · π · r · h = 2 · π · r2 · (r + h)
Autor: , Letzte Aktualisierung: 01. Juni 2022
Der Zylinder
Nun schauen wir uns den Zylinder und seine Bestandteile einmal genauer an.
Aufbau eines Zylinders
Du kannst den Zylinder in Grund-, Deck- und Mantelfläche zerlegen, indem du ihn ausrollst. Probiere es selbst aus!
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Grund- und Deckfläche eines Zylinders berechnen
Die Grund- und Deckfläche sind bei Zylindern immer kreisförmig und gleich groß. Die Berechnung dieser Flächen folgt also den Regeln zur Berechnung der Fläche von Kreisen.
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Formel zur Berechnung der Grund- und Deckfläche eines Zylinders
$A_{Grundfläche} = A_{Deckfläche} = \pi \cdot r^2$
Beispiel
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Wie groß sind Grund- und Deckfläche eines Zylinders, dessen Radius $6~cm$ beträgt?
$A = \pi \cdot (6~cm)^2 = \pi \cdot 36~cm^2 \approx 113,1~cm^2$
Mantelfläche eines Zylinders berechnen
Rollen wir die Mantelfläche ab, erhalten wir ein Rechteck. Die Fläche dieses Rechtecks können wir berechnen, indem wir die Breite mal die Höhe rechnen. Die Breite dieser Fläche entspricht dem Umfang des Kreises der Grund- bzw. Deckfläche. Diese kannst du mit folgender Formel berechnen:
$U_{Grundfläche} = 2 \cdot \pi \cdot r$
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Mantelfläche eines Zylinders
$A_{Mantelfläche} = U \cdot h = 2 \cdot \pi \cdot r \cdot h$
Für die Berechnung der Mantelfläche benötigst du also immer zwei Angaben: den Radius und die Höhe.
Beispiel
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Wie groß ist die Mantelfläche eines Zylinders, dessen Radius $4~cm$ und dessen Höhe $7~cm$ beträgt?
$A = U \cdot h = 2 \cdot \pi \cdot r \cdot h = 2\cdot \pi \cdot 4~cm \cdot 7~\cdot \approx 175,9$
Oberfläche eines Zylinders berechnen
Die Oberfläche eines Zylinders setzt sich aus den beiden Kreisflächen (Grund- und Deckfläche) und aus der Mantelfläche zusammen. Wir müssen also die Flächen dieser einzelnen Bestandteile miteinander addieren. Da Grund- und Deckfläche gleich sind, können wir diese zusammenfassen.
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Formel zur Berechnung der Oberfläche eines Zylinders
$O = 2\cdot Grundfläche + Mantelfläche = (2\cdot \pi \cdot r^2) + (2 \cdot \pi \cdot r \cdot h)$
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Wie groß ist die Oberfläche eines Zylinders, dessen Radius $2~cm$ und dessen Höhe $5~cm$ beträgt?
$O = (2\cdot \pi \cdot (2~cm)^2) + (2 \cdot \pi \cdot 2~cm \cdot 5~cm) \approx 88~cm^2$
Volumen eines Zylinders berechnen
Das Volumen eines Zylinders errechnet sich aus dem Produkt der Grundfläche mit der Höhe. Wir ziehen sozusagen die Grundfläche der Höhe entlang einmal durch den kompletten Zylinder.
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Volumenformel eines Zylinders
$V = Grundfläche \cdot Höhe = \pi \cdot r^2 \cdot h$
Beispiel
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Wie groß ist das Volumen eines Zylinders, dessen Radius $3~cm$ und dessen Höhe $8~cm$ beträgt?
$V = \pi \cdot (3~cm)^2 \cdot 8~cm \approx 226,2$
Nun kannst du Zylinder berechnen. Teste dein neu erlerntes Wissen mit unseren Übungsaufgaben. Wir wünschen dir viel Erfolg dabei!