2 gleiche wurzeln multiplizieren

Quadratwurzeln addieren

Das Addieren von Quadratwurzeln ist nicht immer möglich.

Probiere aus: Ist $$sqrt(9)+sqrt(16)=sqrt(25)$$?

Ziehe die Wurzeln und prüfe nach: $$3+4=5$$ ? Das ist eine falsche Aussage.

Du kannst nur gleichartige Quadratwurzeln addieren.

Beispiel:

$$3*sqrt(7)+sqrt(7)=sqrt(7)*(3+1)=4*sqrt(7)$$

Betrachte die Wurzel als Faktor.

Für Summen von Quadratwurzeln gibt es keine einfache Rechenregel!

Quadratwurzeln subtrahieren

Beim Subtrahieren von Quadratwurzeln gibt es auch keine einfache Rechenregel.

Beispiel: Ist $$sqrt(25)-sqrt(16)=sqrt(9)$$? Das stimmt nicht,
denn : $$5-4=3$$.

Du kannst nur gleichartige Quadratwurzeln subtrahieren.

$$3*sqrt(7)-5*sqrt(7)=-2*sqrt(7)$$

Für Differenzen von Quadratwurzeln gibt es keine einfache Rechenregel.

Quadratwurzeln multiplizieren

Für Produkte von Quadratwurzeln gilt folgendes
Wurzelgesetz:

$$sqrt(a)*sqrt(b)=sqrt(a*b)$$

Du multiplizierst zwei Quadratwurzeln, indem du die Radikanden multiplizierst und dann die Wurzel aus dem Produkt ziehst.

Beispiel: $$sqrt(5)*sqrt(20)=sqrt(5*20)=sqrt(100)=10$$

Beweis:

• Zunächst sind $$sqrt(a)*sqrt(b)$$ nicht negativ, da $$sqrt(a)$$ und $$sqrt(b)$$ nicht negativ sind.

• $$(sqrt(a)*sqrt(b))^2$$
  $$=(sqrt(a)*sqrt(b))*(sqrt(a)*sqrt(b))$$
  $$=sqrt(a)*sqrt(a)*sqrt(b)*sqrt(b)$$
  $$=a*b$$

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Quadratwurzeln dividieren

Für Quotienten von Quadratwurzeln gilt folgendes Wurzelgesetz:

$$sqrt(a)/sqrt(b)=sqrt(a/b)$$ mit $$age$$ und $$bgt0$$

Du dividierst zwei Quadratwurzeln, indem du die Radikanden dividierst und dann die Wurzel aus dem Quotienten ziehst.

Beispiel: $$sqrt(80):sqrt(5)=sqrt(80)/sqrt(5)=sqrt(80/5)=sqrt(16)=4$$

Beweis:

• zunächst ist $$sqrt(a):sqrt(b)$$ nicht-negativ, da $$sqrt(a)$$ und $$sqrt(b)$$ nicht-negativ sind.
• $$(sqrt(a):sqrt(b))^2$$
  $$=(sqrt(a)/sqrt(b))^2$$
  $$=(sqrt(a)/sqrt(b))*(sqrt(a)/sqrt(b))$$ $$=a/b$$

Wurzelterme umformen

1. Bringe den Vorfaktor der Wurzel unter das Wurzelzeichen

Beispiel: $$4*sqrt(5)=sqrt(16)*sqrt(5)=sqrt(16*5)=sqrt(80)$$

2. Teilweises Wurzelziehen

Suche eine Quadratzahl, die im Radikanden steckt.

Beispiel: $$sqrt(125)=sqrt(5*25)=sqrt(5)*sqrt(25)=5*sqrt(5)$$

Wurzeln mit dem Formel-Editor

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Hier erfährst du, wie du mit Wurzeln rechnest und welche Regeln du dabei beachten musst.Wurzeln, die irrationale Zahlen sind, können nur als Näherungswert berechnet werden. Deshalb ist das Ziel beim Umformen von Wurzeltermen, als Radikanden die kleinstmögliche natürliche Zahl zu erhalten und möglichst viele Wurzeln ganz zu entfernen.

• Multiplizieren und dividieren
• Addieren und subtrahieren
• Teilweise Wurzelziehen
• Brüche mit Wurzeltermen im Nenner

Multiplizieren und dividieren

Mit Wurzeln kannst du rechnen wie mit anderen Zahlen auch.

Multiplikation einer Zahl mit einer WurzelWenn eine ganze Zahl und eine Wurzel miteinander multipliziert werden, wird üblicherweise das Multiplikationszeichen nicht geschrieben. 3·5=35

Multiplikation und Division zweier WurzelnDie Wurzel eines Produkts kannst du in das Produkt zweier Wurzeln umwandeln, ebenso kannst du die Wurzel eines Quotienten in den Quotienten zweier Wurzeln umwandeln.

Also:

Multiplikationsregel: a·b=a·bfür a, b  ≥0

Divisionsregel: a b=abfür a  ≥0 und b> 0

Beim Multiplizieren zweier Binome mit Wurzeln gehst du genauso vor wie bei Binomen ohne Wurzel, du wendest das Distributivgesetz an.

Vereinfache:

Ausmultiplizieren und Zusammenfassen

1-21+18=18-2-5

Addieren und subtrahieren

Für das Addieren und Subtrahieren von Wurzeln gibt es keine Vereinfachungsregel. Beachte, dass stets

a+b≠ a+bfür a, b> 0

und

a-b ≠ a-bfür a> b> 0 gilt.

Vergleiche 9+36und 9+36.

Du kannst auf Summen und Differenzen von Termen mit Wurzeln auch das Distributivgesetz anwenden und Wurzeln ausklammern.

ab+cb=a+cb  ab-cb=a-cb

für a, b, c∈ ℝ und b> 0.

63+6+71+3=133+1

Teilweise Wurzelziehen

Mit Hilfe der Rechengesetze kannst du teilweise Wurzeln ziehen. Das bedeutet, du zerlegst den Radikanden in ein Produkt aus Quadratzahlen und Zahlen, die keine Quadratzahlen sind. Mit der Multiplikationsregel zerlegst du die Wurzel des Produktes in ein Produkt aus Wurzeln. Die Wurzel der Quadratzahlen kannst du dann berechnen.

a2· b=abfür a, b  ≥0

Ziehe teilweise die Wurzel aus 756.

Radikand faktorisieren

756=36·21

Teilweise Wurzel ziehen

756=6 21

Umgekehrt kannst du auch eine Zahl der Form abmit a, b  ≥0 in eine Wurzel cumwandeln. Dafür schreibst du aals Wurzel ihres Quadrats und bringst dieses zusammen mit bunter die Wurzel.

Brüche mit Wurzeltermen im Nenner

Brüche, in deren Nenner eine Wurzel steht, kannst du durch geschicktes Erweitern des Bruches so umformen, dass der Nenner keine Wurzel mehr enthält.

Forme so um, dass der Nenner keine Wurzel mehr enthält.

Erweitern

82=822

Kürzen

8 22=42

Kann man 2 Wurzeln multiplizieren?

Was ergibt Wurzel durch Wurzel?

Welche Regeln gibt es bei Wurzeln?