Kniffel Beim Kniffel erzielt man bei einer optimalen Strategie, mit der m�glichst viele Punkte pro Spiel erreicht werden sollen, im Mittel 245,870775 von maximal 375 m�glichen Punkten Eine zweite Strategie w�re die, mit der man m�glichst oft gewinnt. Sie unterscheidet
sich von der ersten Strategie. Dazu ein anschauliches Beispiel: Eine weitere dritte sehr spezielle Strategie br�uchte man, wollte man m�glichst oft alle 375 Punkte beim Kniffel erreichen. Die optimale Strategie daf�r kann man berechnen. Alle weiteren �berlegungen beziehen sich auf die erste Strategie, also auf das Erreichen von m�glichst vielen Punkten. Die folgenden Wahrscheinlichkeiten gelten f�r einen Wurf mit 5 W�rfeln. Die Formeln dazu findet man auf der Stochastik-Formeln-Seite (Beispiele 14, 15 und 24): Einer bis Sechser (mindestens einmal die jeweilige Augenzahl): 4651/7776 = 59,812% Die folgenden �berlegungen zu Wahrscheinlichkeiten, mittleren Punktzahlen (Erwartungswerten) und optimalen Strategien gelten f�r drei W�rfe und f�r den Fall, dass nur noch eine einzige der 13 Kategorien (Kniffel, Chance, Full House, gro�e Stra�e, usw.) offen ist und deshalb nur daf�r optimiert werden muss. F�r einen Kniffel, ein Full House, eine Chance und f�r die Einser bis Sechser lassen sich diese Wahrscheinlichkeiten, Erwartungswerte und Strategien noch gut mit Stochastik-�berlegungen und Taschenrechner bestimmen. Auch f�r eine gro�e Stra�e ist das bei entsprechender Sorgfalt noch m�glich. F�r eine kleine Stra�e schafft man das nur f�r die Wahrscheinlichkeiten. Beim Viererpasch und beim Dreierpasch wurde die Berechnung der Erwartungswerte und optimalen Strategien dagegen mit einem sehr sorgf�ltig ausgetesteten Kniffel-Programm durchgef�hrt. Dieses Programm wurde nat�rlich auch zur genauen �berpr�fung aller manuellen Berechnungen eingesetzt. Wer beim Kniffel an den Erwartungswerten f�r 2 noch offene oder den optimalen Strategien f�r alle 13 noch offenen Kategorien interessiert ist, sollte sich die Kniffel-Strategie-Seite anschauen.Weiter unten ist f�r alle diese Kategorien skizziert, wie sich die nach drei W�rfen g�ltige Wahrscheinlichkeit bzw. der Erwartungswert zusammensetzt und errechnet. Die Einzelwahrscheinlichkeiten wurden dadurch ermittelt, dass die entsprechende Anzahl der g�nstigen Variationen durch die Gesamtzahl der Variationen geteilt wurde. Variationen sind ja im Gegensatz zu Kombinationen gleich wahrscheinlich und deshalb f�r die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten geeignet. Wenn sich die Anzahl der g�nstigen Variationen nicht direkt bestimmen lie�, wurde sie als Produkt der Anzahl der Kombinationen und Permutationen berechnet. (Siehe dazu auch die Stochastik-Formeln-Seite.)Das eben erw�hnte Programm f�r das Spiel Kniffel berechnet die Erwartungswerte und Strategien f�r insgesamt 219 = 524.288 Spielzust�nde. Diese Zahl ergibt sich daraus, dass jede der 13 Kategorien noch offen oder schon belegt sein kann (213 = 8192 M�glichkeiten), und dass unabh�ngig f�r den Bonus schon 0, 1, 2, 3, ... , 62 oder mehr als 62 Punkte (26 = 64 M�glichkeiten) erreicht worden sein k�nnen. F�r den Erwartungswert und die optimale Strategie ist es ja egal, ob man 63 oder mehr Bonuspunkte erzielt hat. Wichtig ist hier nur, dass der Bonus und damit die 35 Punkte sicher sind. Die Gesamtzahl der Spielzust�nde ist dann das Produkt aus 8192 und 64. Das Kniffel-Programm berechnet zun�chst die Erwartungswerte, wenn jeweils nur noch eine der 13 Kategorien offen ist. F�r zwei noch offene Kategorien gibt es schon 78 Kombinationen. Zur Berechnung der entsprechenden Erwartungswerte kann das Programm auf die schon berechneten 13 Erwartungswerte f�r nur eine offene Kategorie zur�ckgreifen. Entsprechend st�tzt sich das Kniffel-Programm zur Berechnung der Erwartungswerte f�r die 286 verschiedenen Kombinationen bei drei noch offenen Kategorien auf die schon zuvor bestimmten Werte. Auf diese Weise arbeitet sich das Programm schrittweise von hinten nach vorne, bis es schlie�lich zur Anfangssituation des Spiels kommt, bei der noch alle 13 Kategorien offen sind. Insgesamt muss sich das Kniffel-Programm durch 1 + 13 + 78 + 286 + 715 + 1287 + 1716 + 1716 + 1287 + 715 + 286 + 78 + 13 + 1 = 8192 Spielzust�nde durcharbeiten. Die 1 am Anfang der Summe bezeichnet dabei den Fall, dass keine Kategorie mehr offen, das Spiel also zu Ende ist. Genau genommen errechnet das Kniffel-Programm allerdings f�r jede der 8192 Spielzust�nde 64 Erwartungswerte und nicht nur einen (wegen der verschiedenen m�glicherweise schon erreichten Bonuspunkte). Von den letzten 64 errechneten Erwartungswerten ist der f�r die Bonuspunktzahl 0 geltende Wert von 245,870775 der gesuchte Erwartungswert f�r das gesamte Kniffel-Spiel, weil es ja ohne Bonuspunkte beginnt. Die 524.288 errechneten Erwartungswerte werden von einem zweiten Kniffel-Programm dazu benutzt, f�r jede Spielsituation in jeder Runde die optimale Strategie zu bestimmen. Dazu muss dieses Programm nach jedem der maximal drei W�rfe in einer Runde alle noch verbleibenden M�glichkeiten des W�rfelns, Behaltens und Eintragens durchspielen und dabei den jeweils f�r diese Runde geltenden Erwartungswert ber�cksichtigen. Da nach jedem W�rfeln 252 verschiedene W�rfel-Kombinationen m�glich sind, gibt es f�r das gesamte Kniffel-Spiel maximal 3 · 252 · 524.288 = 396.361.728 Spielsituationen, f�r die das Programm optimale Strategien berechnen kann. Unter den 252 W�rfel-Kombinationen befinden sich 6 Einlinge (32), 60 Zwillinge (24), 60 Doppel-Zwillinge (18), 60 Drillinge (16), 30 Full House (12), 30 Vierlinge (10) und 6 Kniffel (6). In Klammern steht jeweils die Anzahl der Strategien, die man durch unterschiedliches Behalten verfolgen kann. Das ergibt nach dem ersten und zweiten Wurf jeweils 4368 m�gliche Strategien. Nach dem dritten Wurf gibt es dann noch 13 · 252 = 3276 Strategien. F�r das gesamte Kniffel-Spiel kann das Programm demnach maximal (2 · 4368 + 3276) · 524.288 = 6.297.747.456 Strategien berechnen. Das Programm ist au�erdem in der Lage kann, die Strategie eines Spielers oder alle �berhaupt m�glichen Strategien mit der optimalen Strategie zu vergleichen. Kniffel (f�nf gleiche Augenzahlen; 50 Punkte) Die Wahrscheinlichkeit, mit 3 W�rfen bei optimaler Strategie einen Kniffel (5 gleiche Augenzahlen) zu erzielen, betr�gt 4,602864%. Bei der optimalen Strategie wird sowohl nach dem ersten als auch nach dem zweiten Wurf nur ein Mehrling behalten und es gelten die folgenden unmittelbar einleuchtenden Regeln: Bei einem Kniffel ist man schon am Ziel. Die folgende Zusammenstellung enth�lt die 15 m�glichen F�lle zum Erzielen eines Kniffels mit den entsprechenden Einzelwahrscheinlichkeiten p p1 = 6/7776 = 1/1296 = 0,077160% (Kniffel / - / -) Die Gesamtwahrscheinlichkeit ergibt sich durch Addition der Einzelwahrscheinlichkeiten und f�hrt auf den schon oben angegebenen Wert: pgesamt = 347.897/7.558.272 = 4,602864% Nach einem Wurf betr�gt die Wahrscheinlichkeit �brigens 1/1296 = 0,077160% (mittlere Punktzahl: 25/648 = 0,038580) W�rde man mit optimaler Strategie solange weiterw�rfeln, bis man einen Kniffel erzielt hat, dann br�uchte man daf�r im Mittel 11,090155 W�rfe. Full House (drei gleiche Augenzahlen und zwei andere gleiche Augenzahlen; 25 Punkte)Die Wahrscheinlichkeit, mit 3 W�rfen bei optimaler Strategie ein Full House zu erzielen, betr�gt 36,288288%. F�r die optimale Strategie gelten die folgenden relativ einfach abzuleitenden Regeln sowohl nach dem
ersten als auch nach dem zweiten Wurf, Bei einem Kniffel wird davon nur ein Drilling behalten. W�rde nach dem zweiten Wurf ein Einling behalten, betr�ge die Wahrscheinlichkeit f�r ein Full House nur 18/216 statt 20/216. Nach dem ersten Wurf w�re die Wahrscheinlichkeit 2076/7776 statt 2095/7776, wenn man nach dem zweiten Wurf optimal entscheidet. Bei f�nf Einlingen wird entweder ein Einling behalten oder komplett neu gew�rfelt. Die folgende Zusammenstellung enth�lt die 19 m�glichen F�lle zum Erzielen eines Full House mit den entsprechenden Einzelwahrscheinlichkeiten p p1 = 300/7776 = 25/648 = 3,858025% (Full House / - / -) Die Gesamtwahrscheinlichkeit ergibt sich durch Addition der Einzelwahrscheinlichkeiten und f�hrt auf den schon oben angegebenen Wert: pgesamt = 5.485.535/15.116.544 = 36,288288% Nach einem Wurf betr�gt die Wahrscheinlichkeit �brigens 25/648 = 3,858025% (mittlere Punktzahl: 625/648 = 0,964506) Anmerkung: In seltenen F�llen wird so gespielt, dass beim Full House der Drilling und der Zwilling auch die gleichen Augenzahlen haben d�rfen, Chance (alle Augenzahlen z�hlen; maximal 30 Punkte)Die mittlere Punktzahl f�r eine Chance betr�gt mit 3 W�rfen bei optimaler Strategie 23,333333. Bei optimaler Strategie werden nach dem ersten Wurf nur die F�nfen und Sechsen behalten. Herleitung: Zur Berechnung der mittleren Punktzahl f�r eine Chance braucht man zun�chst nur einen W�rfel betrachten, Darf man zweimal w�rfeln, so ist Wahrscheinlichkeit beim ersten Wurf 50%, eine 1, 2 oder 3 zu bekommen. Darf man dagegen dreimal w�rfeln (wie hier angenommen) und erh�lt man beim ersten Wurf eine 1, 2, 3 oder 4, so wird man weiterw�rfeln, Alle 5 W�rfel kommen dann mit 3 W�rfen auf eine mittlere Punktzahl von 5 · 14/3 = 70/3 = 23,333333. Nach einem Wurf betr�gt die mittlere Punktzahl �brigens 5 · 7/2 = 35/2 = 17,500000 und nach zwei W�rfen 5 · 17/4 = 85/4 = 21,250000. Die Wahrscheinlichkeiten, mit dieser Strategie eine bestimmte Summe der Augenzahlen zu erzielen, findet man auf der Kniffel-Strategie-Seite. Einser bis Sechser (nur die jeweiligen Augenzahlen z�hlen; maximal 5, 10, 15, 20, 25 und 30 Punkte)Die mittlere Punktzahl f�r Einser betr�gt bei optimaler Strategie 2,106481 oder 455/216. Bei optimaler Strategie werden sowohl nach dem ersten als auch nach dem zweiten Wurf nat�rlich nur die Einsen bzw. die Zweien, Dreien, Vieren, F�nfen oder Sechsen behalten. Herleitung: Als Beispiel seien zur Berechnung der mittleren Punktzahl die Sechser genommen. Man braucht auch nur einen W�rfel zu betrachten, Die folgenden Formeln geben die jeweilige Wahrscheinlichkeit f�r die Anzahl der erreichten Einsen, Zweien, Dreien, Vieren, F�nfen oder Sechsen an: Keine Sechs: (50) · ((5/6)3)5 · (1 � (5/6)3)0 = 6,491% Herleitung: Die Wahrscheinlichkeit, f�r z.B. genau zwei Sechsen in 3 W�rfen Die Wahrscheinlichkeit f�r f�nf Sechsen in 3 W�rfen ist auch die Wahrscheinlichkeit f�r einen Sechser-Kniffel und gleichzeitig auch die Wahrscheinlichkeit, im Kniffel-Spiel 30 Punkte beim Sechser, beim Dreierpasch, beim Viererpasch oder bei der Chance zu erzielen. Diese Wahrscheinlichkeit gilt allerdings nicht f�r die beim Dreierpasch, beim Viererpasch oder bei der Chance normalerweise �bliche Strategie, m�glichst viele Punkte zu erreichen. Die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten sind geringer. F�r die Chance findet man diese Wahrscheinlichkeit auf der Kniffel-Strategie-Seite. Wahrscheinlichkeit f�r mindestens eine Sechs in 3 W�rfen: 1 � ((5/6)5)3 = 93,509453% Herleitung: Die Wahrscheinlichkeit, mit 3 W�rfen und 5 W�rfeln keine 6 zu erzielen, betr�gt ((5/6)5)3. Nach einem Wurf betr�gt die mittlere Punktzahl �brigens f�r Sechser 30/6 = 5,000000 und nach zwei W�rfen 55/6 = 9,166667. Gro�e Stra�e (5 aufeinander folgende Augenzahlen; 40 Punkte)Die Wahrscheinlichkeit, mit 3 W�rfen bei optimaler Strategie eine gro�e Stra�e zu erzielen, betr�gt 26,109502%. Die optimale Strategie zum Erreichen einer gro�en Stra�e kann mit stochastischen �berlegungen durch Vergleich mit anderen Strategien und deren zugeh�rigen Wahrscheinlichkeiten ermittelt werden. Bei optimaler Strategie werden sowohl nach dem ersten als auch nach dem zweiten Wurf zun�chst alle eventuell vorhandenen Mehrlinge auf Einlinge reduziert. Davon wird auf jeden Fall, falls vorhanden, die 2, 3, 4 und 5 behalten. Ist sowohl eine 1 als auch eine 6 vorhanden, wird entweder die 1 oder die 6 behalten. Dann wird jeweils die Anzahl der noch vorhandenen Einlinge bestimmt. Die verbliebenen W�rfel werden dann in die folgenden Kategorien eingeteilt: Ein innerer 1er, 2er, 3er oder 4er sind dann 1, 2, 3 oder 4 W�rfel, bei denen nur Augenzahlen von 2 bis 5 vorkommen. Ein �u�erer 1er, 2er, 3er oder 4er bezeichnet 0, 1, 2 oder 3 W�rfel mit Augenzahlen von 2 bis 5 und ein W�rfel mit der Augenzahl 1 oder 6. Ein innerer 3er ist z.B. 245 oder 234. Ein �u�erer 3er kann z.B. 256 oder 134 sein. Nach dem ersten Wurf gelten dann die weiteren Regeln: Bei einer gro�en Stra�e ist man am Ziel. W�rde die Eins oder Sechs behalten, betr�ge die Wahrscheinlichkeit f�r eine gro�e Stra�e nur 1272/7776 statt 1432/7776 (siehe Einzelwahrscheinlichkeiten f�r alternative Strategien). Bei zwei Einlingen wird eine eventuell vorhandene Eins oder Sechs verworfen. W�rde die Eins oder Sechs behalten, betr�ge die Wahrscheinlichkeit f�r eine gro�e Stra�e nur 906/7776 statt 1133/7776. Bei einem Einling wird eine eventuell vorhandene Eins oder Sechs verworfen. Es wird dann komplett neu gew�rfelt. W�rde die Eins oder Sechs behalten, betr�ge die Wahrscheinlichkeit f�r eine gro�e Stra�e nur 985.920/10.077.696 statt 1.307.552/10.077.696. Die nichtoptimalen Wahrscheinlichkeiten gelten, wenn man dann nach dem zweiten Wurf optimal entscheidet. Nach dem zweiten Wurf gelten dann - anders als nach dem ersten Wurf - diese weiteren Regeln: Bei einer gro�en Stra�e ist man am Ziel. In beiden F�llen betr�gt die Wahrscheinlichkeit f�r eine gro�e Stra�e 2/36. Bei zwei Einlingen wird eine eventuell vorhandene Eins oder Sechs verworfen. W�rde die Eins oder Sechs behalten, betr�ge die Wahrscheinlichkeit f�r eine gro�e Stra�e nur 6/216 statt 8/216. Bei einem Einling wird eine eventuell vorhandene Eins oder Sechs verworfen. Es wird dann komplett neu gew�rfelt. W�rde die Eins oder Sechs behalten, betr�ge die Wahrscheinlichkeit f�r eine gro�e Stra�e nur 24/1296 statt 40/1296. Die folgende Zusammenstellung enth�lt die 27 m�glichen F�lle zum Erzielen einer gro�en Stra�e mit den entsprechenden Einzelwahrscheinlichkeiten p p1 = 240/7776 = 3,086420% (gro�e Stra�e / - / -) Die Gesamtwahrscheinlichkeit ergibt sich durch Addition der Einzelwahrscheinlichkeiten und f�hrt auf den schon oben angegebenen Wert: pgesamt = 319.695.199/1.224.440.064 = 26,109502% Nach einem Wurf betr�gt die Wahrscheinlichkeit �brigens 5/162 = 3,086420% (mittlere Punktzahl: 100/81 = 1,234568) Kleine Stra�e (mindestens 4 aufeinander folgende Augenzahlen; 30 Punkte)Die Wahrscheinlichkeit, mit 3 W�rfen bei optimaler Strategie eine kleine Stra�e zu erzielen, betr�gt 61,544231%. Bei optimaler Strategie werden sowohl nach dem ersten als auch nach dem zweiten Wurf zun�chst alle eventuell vorhandenen Mehrlinge auf Einlinge reduziert. Nach dem ersten und dem zweiten Wurf gelten dann die weiteren Regeln: Bei einer gro�en Stra�e ist man am Ziel. Die verbliebenen W�rfel werden dann in die folgenden Kategorien eingeteilt: Ein innerer 1er oder 2er sind dann 1 bzw. 2 W�rfel mit den Augenzahlen 3 oder 4. Ein mittlerer 2er oder 3er sind 2 bzw. 3 W�rfel, wobei jeweils 1 W�rfel die Augenzahlen 2 oder 5 hat und die restlichen W�rfel die Augenzahlen 3 oder 4 haben (Beispiel f�r einen mittleren 3er: 234 oder 345). Bei einem doppelt mittleren 3er gibt es 2 W�rfel mit den Augenzahlen 2 und 5 und 1 W�rfel mit der Augenzahl 3 oder 4. Schlie�lich besteht ein �u�erer 3er aus 3 W�rfeln, von denen zwei die Augenzahlen 1 und 2 oder 5 und 6 und der letzte die Augenzahlen 3 oder 4 hat (Beispiel: 123 oder 356). Die folgende Zusammenstellung enth�lt die 25 m�glichen F�lle zum Erzielen einer kleinen Stra�e mit den entsprechenden Einzelwahrscheinlichkeiten p f�r die eben erw�hnte optimale Strategie. Die in Klammern gesetzten und durch Schr�gstriche abgetrennten 7 verschiedenen Kategorien geben an, was nach dem 1., 2. und 3. Wurf erreicht sein soll, sofern man nicht schon vorher eine kleine Stra�e erzielt hat. Entsprechend sind die in den Klammern stehenden Br�che die Wahrscheinlichkeiten zum Erreichen der jeweils angegebenen Kategorien: p1 = 1200/7776 =
15,432099% (kleine Stra�e / - / -) Die Gesamtwahrscheinlichkeit ergibt sich durch Addition der Einzelwahrscheinlichkeiten und f�hrt auf den schon oben angegebenen Wert: pgesamt = 61,544231% Nach einem Wurf betr�gt die Wahrscheinlichkeit �brigens 25/162 = 15,432099% (mittlere Punktzahl: 125/27 = 4,629630) Viererpasch (mindestens vier gleiche Augenzahlen; maximal 30 Punkte)Die mittlere Punktzahl f�r einen Viererpasch mit drei W�rfen betr�gt bei daf�r optimaler Strategie 5,611263. Bei optimaler Strategie gelten die folgenden Regeln nach dem ersten Wurf: Bei einen Kniffel aus F�nfen oder Sechsen wird alles behalten und man ist am Ziel. Bei einem Drilling und zwei Einlingen wird nur der Drilling behalten. Bei zwei Zwillingen und einem Einling wird nur der Zwilling mit der h�chsten Augenzahl behalten. Ausgenommen ist der Fall 11226. Hier wird nur die 6 behalten. Bei einem Zwilling und drei Einlingen wird nur der Zwilling behalten, wenn es sich dabei um Zweien, Dreien, Vieren, F�nfen oder Sechsen handelt. Ausgenommen ist der Fall, dass der Zwilling aus Zweien besteht und ein Einling eine 6 ist. Dann wird nur die 6 behalten. Besteht der Zwilling aus Einsen, wird nur der Einling mit der h�chsten Augenzahl behalten, der Zwilling wird verworfen. Bei f�nf Einlingen wird nur der Einling mit der h�chsten Augenzahl behalten. Nach dem zweiten Wurf gelten - anders als nach dem ersten Wurf - diese Regeln: Bei einem Kniffel aus Vieren, F�nfen oder Sechsen wird alles behalten und man ist am Ziel. Herleitung: F�r einen Viererpasch nach einen Wurf l�sst sich die oben erw�hnte mittlere Punktzahl noch mit Stochastik-�berlegungen auf folgende Weise ermitteln: F�r einen Viererpasch gibt es zun�chst die folgenden 30 Kombinationen, wobei das x jeweils f�r eine der 5 Augenzahlen steht: Nach einem Wurf betr�gt die mittlere Punktzahl �brigens 0,351080 und nach zwei W�rfen 2,421513. Um m�glichst oft einen Viererpasch zu erzielen, muss man eine andere Strategie verfolgen. Informationen dazu und zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit findet man auf der Kniffel-Strategie-Seite. Dreierpasch (mindestens drei gleiche Augenzahlen; maximal 30 Punkte)Die mittlere Punktzahl f�r einen Dreierpasch mit drei W�rfen betr�gt bei daf�r optimaler Strategie 15,194661. Bei optimaler Strategie gelten die folgenden Regeln nach dem ersten Wurf: Bei einen Kniffel aus F�nfen oder Sechsen wird alles behalten und man ist am Ziel. Bei einem Drilling und zwei Einlingen wird der Drilling behalten und von den Einlingen die F�nfen und Sechsen. Bei zwei Zwillingen und einem Einling wird nur der Zwilling mit der h�chsten Augenzahl behalten. Ausgenommen sind die F�lle 11225, 11226, 11336 und 22336. In den ersten beiden F�llen wird die 5 bzw. 6 und in den letzten beiden F�llen 336 behalten. Bei einem Zwilling und drei Einlingen wird nur der Zwilling behalten, wenn es sich dabei um Vieren, F�nfen oder Sechsen handelt. Besteht der Zwilling aus Dreien und ist ein Einling eine 6, so wird diese 6 zus�tzlich behalten. Besteht der Zwilling aus Zweien, werden nur diese Zweien behalten, wenn kein Einling eine 5 oder 6 ist. Ist unter den Einlingen eine F�nf und/oder eine Sechs, werden die beiden Zweien verworfen und der Einling mit der h�chsten Augenzahl wird behalten. Besteht der Zwilling aus Einsen, wird nur der Einling mit der h�chsten Augenzahl behalten. Bei f�nf Einlingen wird nur der Einling mit der h�chsten Augenzahl behalten. Nach dem zweiten Wurf gelten - anders als nach dem ersten Wurf - diese Regeln: Bei einen Kniffel aus Vieren, F�nfen oder Sechsen wird alles behalten und man ist am Ziel. Herleitung: F�r einen Dreierpasch nach einen Wurf l�sst sich die oben erw�hnte mittlere Punktzahl noch mit Stochastik-�berlegungen auf folgende Weise ermitteln: F�r einen Dreierpasch gibt es zun�chst die folgenden 60 Kombinationen, wobei x und y
verschieden sind und f�r jeweils eine der 5 Augenzahlen stehen, die links nicht vorkommen: Nach einem Wurf betr�gt die mittlere Punktzahl �brigens 3,726852 und nach zwei W�rfen 10,208705. Um m�glichst oft einen Dreierpasch zu erzielen, muss man eine andere Strategie verfolgen. Informationen dazu und zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit findet man auf der Kniffel-Strategie-Seite. Copyright � Werner Brefeld, 1998 ... 2022 (Originalquelle) Wie viele Möglichkeiten gibt es bei 2 mal Würfeln?Würfeln mit 2 Würfeln. Bei dem Zufallsexperiment „Würfeln mit 2 Würfeln“ gibt es 36 mögliche Versuchsausgänge (Ergebnisse), also alle möglichen geordneten Paare von Augenzahlen.
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit mit 2 Würfeln mindestens eine 6 zu Würfeln?Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei 2maligem Würfeln mindestens 1mal "6" zu werfen? Wir können die günstigen und möglichen Fälle abzählen (kompliziert) oder so überlegen: Die Wahrscheinlichkeit für "0mal 6" beträgt 5/6·5/6 = 25/36.
Wie viele Möglichkeiten gibt es bei 5 Würfeln?Insgesamt also: P(X=1)=5x x =5x was ungefähr 5x8% also 40% entspricht. Bei der vorherigen Antwort wurde der Faktor 5 vergessen, daher waren es dort nur etwa 8%. Wirft man also 7776 Fünferserien enthalten diese im Schnitt also nicht 625 Mal genau eine Sechs, sondern im Schnitt 5x625 Mal also 3125 Mal.
Wie oft muss man mindestens Würfeln damit mit mindestens 95 Wahrscheinlichkeit?Lösung. Ein Würfel muss mindestens 13 Mal geworfen werden, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% eine 6 zu erhalten.
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Bei einem Spiel mit fünf Würfeln gewinnt man wenn mindestens zwei Sechsen Fällen
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