Die e-Funktion: Eigenschaften
Monotonie
Die e-Funktion ist streng monoton wachsend und das Wachstum ist exponentiell. Das bedeutet, dass die Funktion sehr schnell ansteigt. Je größer $x$ wird, desto größer wird auch der $y$-Wert, wie wir auf der Abbildung erkennen können:
Abbildung: e-Funktion, schnelles Wachstum
Schnittpunkte mit den Achsen
Die e-Funktion hat keine Nullstellen, da eine Potenz niemals Null sein kann. Also gilt stets $f(x)$ = $e$ x ≠ $0$. Ihr Graph nähert sich mit kleiner werdendem $x$ immer mehr der $x$-Achse und es gilt $\lim\limits_{x \to -∞} $ $e$x = $0$. Diese Achse ist also eine gerade Asymptote.
Der Graph dieser Funktion schneidet die $y$-Achse an der Stelle 1, da $f(0)$ = $e$0 = $1$ ist.
Umkehrfunktion
Die Umkehrfunktion der e-Funktion ist die natürliche Logarithmusfunktion. $f(x) = e^x$ , $f^{-1} (x) = ln (x)$
Gut zu wissen
Hinweis
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Umkehrfunktion von $f(x) = e^x$
$f^{-1}(x) =\log_e (x) = ln (x)$
Abbildung: Funktionen $\rightarrow f^{-1}(x) = ln (x)$. Beide sind Umkehrfunktionen und damit Spiegelbilder voneinander an der Geraden $y$ = $x$.
Definitions- und Wertemenge
Für $x$ dürfen wir jede reelle Zahl einsetzen. Das bedeutet, die Definitionsmenge ist: $D_f = \mathbb{R}$
Wie wir an dem Graphen sehen, verläuft er oberhalb der x –Achse, die Asymptote ist. Der Wertebereich ist also: $ W_f = \mathbb{R^+}$. Das sind alle positiven reellen Zahlen.
Die e-Funktion ableiten und eine Stammfunktion bilden
Die Ableitung und auch die Stammfunktion der e-Funktion bildet wieder eine e-Funktion:
Merke
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Ableitung: $f '(x) = e ^x $
Stammfunktion: $F (x) = e^x $
Doch wieso ist dies bei der e-Funktion der Fall?
Die allgemeine Ableitung von Exponentialfunktionen ist: $f(x) = a ^x$ $\rightarrow f ' (x) = a^x \cdot ln(a)$
Wenden wir dies auf $f(x) = e^x $ an, erhalten wir:
$ f ' (x) = (e^x)' = e^x \cdot ln(e) = e^x \cdot 1 = e^x $
Mit den Übungsaufgaben kannst du dein neu erworbenes Wissen zum Ableiten von Exponentialfunktionen prüfen. Ich wünsche dir viel Erfolg dabei!
Video: Simon Wirth
Text: Chantal Rölle
Bei der Exponentialfunktion
\$f(x)=a^x, a>0\$
wird \$a\$ als Basis und \$x\$ als Exponent bezeichnet.
Diese ist nicht mit der Potenzfunktion zu verwechseln, die die Form \$f(x)=x^n\$ hat, für welche wir bereits die Ableitungsregel \$f'(x)=n * x^{n-1}\$ kennen.
Um eine Ableitungsregel für eine Exponentialfunktion der Form \$f(x)=a^x\$ zu finden, gehen wir wie üblich vor: wir stellen den Differenzialquotienten auf und versuchen damit eine Regel zu erkennen:
\$f'(x)=lim_{h->0} {f(x+h)-f(x)}/h=\$
\$lim_{h->0} {a^{x+h}-a^x}/h=lim_{h->0} {a^x*a^h-a^x}/h\$
Hier haben wir eines der Potenzgesetze verwendet, das uns erlaubt \$a^{x+h}\$ als \$a^x * a^h\$ zu schreiben. Somit können wir nun \$a^x\$ ausklammern und, da es nicht von \$h\$ abhängt, vor den Limes ziehen, so dass man den Ausdruck
\$a^x*lim_{h->0} {a^h-1}/h\$
erhält. Nun verwenden wir einen kleinen "Trick": Wenn wir die Zahl \$1\$ durch \$a^0\$ ersetzen, bleibt der Ausdruck
\$a^x*lim_{h->0} {a^h-a^0}/h\$
übrig, wobei \$lim_{h->0} {a^h-a^0}/h\$ nach der Definition der Ableitung nichts anderes ist, als die Ableitung von \$f(x)=a^x\$ an der Stelle 0, also \$f'(0)\$.
Insgesamt haben wir als Ableitung von \$f(x)=a^x\$ den Ausdruck
\$f'(x)=a^x * f'(0)=f(x)*f'(0)\$. \$ox\$
Dieses Ergebnis ist nicht wirklich zufriedenstellend: da benötigt man für die Ableitung an der Stelle x die Ableitung der Funktion an der Stelle 0! Und genau diese Ableitung haben wir noch nicht!
Deshalb sind wir hier noch nicht fertig und suchen einen anderen Weg: in der Herleitung kam gerade der Ausdruck \$lim_{h->0} {a^h-a^0}/h\$ vor; können wir vielleicht eine Basis a so wählen, dass dieser Limes die Zahl 1 ergibt? Dazu folgender Ansatz:
\$lim_{h->0} {a^h-a^0}/h=lim_{n->oo} {a^{1/n}-1}/{1/n}\$
Anstatt \$h\$ gegen 0 gehen zu lassen, kann man ebenso gut das \$h\$ durch \$1/n\$ ersetzen, wenn man das \$n\$ gegen \$oo\$ laufen lässt. Und wegen \$a^0=1\$ haben wir wieder die 1 statt des \$a^0\$ im Term stehen.
Und dieser Grenzwert soll gleich 1 sein:
\$lim_{n->oo} {a^{1/n}-1}/{1/n}=1\$
Für die folgende prinzipielle Herleitung lassen wir den Limes hier weg und lösen den Term nach a auf:
\${a^{1/n}-1}/{1/n}=1 | *(1/n)\$
\$a^{1/n}-1=1/n | +1\$
\$a^{1/n}=root(n)(a)=1+1/n \$
\$sqrt(3)=3^{1/2}\$ in Potenzschreibweise, analog dazu \$root(3)(4)=4^{1/3}\$, also kann man allgemein schreiben, dass \$root(n)(a)=a^{1/n}\$. Das haben wir soeben verwendet. |
Potenziert man die Gleichung nun auf beiden Seiten mit \$n\$, so erhält man
\$a=(1+1/n)^{n}\$
Setzt man für \$n\$ nun immer größere Werte ein, so wird man überrascht feststellen, dass dieser Ausdruck gegen einen bestimmten Wert zu streben scheint:
n | \$(1+1/n)^{n}\$ |
100 | 2.7048138294215285 |
1000 | 2.7169239322355936 |
10000 | 2.7181459268249255 |
100000 | 2.7182682371922975 |
1000000 | 2.7182804690957534 |
10000000 | 2.7182816941320818 |
100000000 | 2.7182817983473577 |
1000000000 | 2.7182820520115603 |
Diese besondere Zahl wird als Eulersche Zahl bezeichnet und mit dem Buchstaben \$e\$ bezeichnet.
Die Eulersche Zahl hat näherungsweise den Wert \$e=2,71828\$ und die Funktion \$e^x\$ wird als e-Funktion oder natürliche Exponentialfunktion bezeichnet.
Somit haben wir die besondere Basis \$e\$ gefunden, für die gilt, dass die Ableitung von \$e^x\$ an der Stelle 0 gleich 1 ist. In Verbindung mit der Gleichung \$ox text( )\$ von oben erhält man für \$f(x)=e^x\$ die Ableitung \$f'(x)=e^x *1=e^x=f(x)\$.
Dadurch gilt natürlich auch: \$f''(x)=e^x\$ und \$f'''(x)=e^x\$, usw.
Mit \$e^x\$ liegt also eine Funktion vor, die die besondere Eigenschaft hat, dass sie mit all ihren Ableitungen identisch ist!
Ableitung der e-Funktion:
Für die e-Funktion \$f(x)=e^x\$ mit \$e\$ als Eulersche Zahl gilt:
\$f'(x)=e^x=f(x)\$
Vertiefung:
Wir haben gesehen, dass \$lim_{n->oo} (1+1/n)^{n}\$ gegen \$e\$ strebt. Man kann etwas allgemeiner auch zeigen, dass \$lim_{n->oo} (1+a/n)^{n}\$ gegen \$e^a\$ läuft. Um dies nachvollziehbar zu machen, wiederholen wir die numerische Näherung mit \$n_0=1 000 000 000\$ für verschiedene Werte von a und notieren daneben \$e^a\$:
a | \$(1+a/n_0)^{n_0}\$ | \$e^a\$ |
0,5 | 1,648721 | 1,648721 |
1 | 2,718282 | 2,718282 |
2 | 7,389056 | 7,389056 |
4 | 54,598146 | 54,598150 |
8 | 2980,957021 | 2980,957987 |
Die Werte zeigen, dass diese Aussage zu stimmen scheint.
Die Tatsache, dass \$lim_{n->oo} (1+a/n)^{n}=e^a\$ ist, werden wir für die Herleitung der Ableitung der natürlichen Logarithmusfunktion verwenden.