Auf gleichen wert bringen

Hier findest du noch mal die wichtigsten Informationen zum Kürzen und Erweitern.

• Erweitern eines Bruchs
• Kürzen eines Bruchs
• Erweiterungszahl
• Kürzungszahl
• Kürzen mit dem größten gemeinsamen Teiler
• Auf den Hauptnenner erweitern

Erweitern eines Bruchs

Du kannst einen Bruch erweitern, indem du Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl multiplizierst. Beim Erweitern bleibt der vom Bruch dargestellte Anteil unverändert, dieser Anteil wird nur in kleinere Abschnitte unterteilt (die Einteilung wird verfeinert).

Kürzen eines Bruchs

Du kannst einen Bruch kürzen, indem du Zähler und Nenner durch die gleiche Zahl dividierst. Beim Kürzen bleibt der vom Bruch dargestellte Anteil unverändert, dieser Anteil wird nur in größere Abschnitte unterteilt (die Einteilung wird vergröbert).

Erweiterungszahl

Die Zahl, mit der du einen Bruch erweiterst, ist die Erweiterungszahl. Die Erweiterungszahl findest du,indem du eine Ergänzungsaufgabe zu den beiden Zählern oder den beiden Nennern löst.

Ein Bruch kann nicht mit 0 erweitert werden.

Gib die Erweiterungszahl zu

Erweiterungszahl

Gib die Erweiterungszahl zu

Erweiterungszahl

Kürzungszahl

Die Zahl, mit der du einen Bruch kürzt, nennt man Kürzungszahl. Die Kürzungszahl findest du,indem du eine Ergänzungsaufgabe zu den beiden Zählern oder den beiden Nennern löst.

Ein Bruch kann nicht durch 0 gekürzt werden.

Gib die Kürzungszahl zu

Kürzungszahl

Gib die Kürzungszahl zu

Kürzungszahl

Kürzen mit dem größten gemeinsamen Teiler

Um so weit wie möglich zu kürzen, musst du den größten gemeinsamen Teiler (ggT) von Zähler und Nenner eines Bruchs finden. Der ggT ist die größte Zahl, mit der du einen Bruch kürzen kannst.

Kürze 1824so weit wie möglich:

Kürzen

Auf den Hauptnenner erweitern

Der Hauptnenner ist der durch Erweitern von zwei oder mehr ungleichnamigen Brüchen entstehende kleinste gemeinsame Nenner.Bevor du den Hauptnenner bildest, kürzt du die Brüche so weit wie möglich.

Der Hauptnenner ist das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) der Nenner.

Erweitere 12und 23auf ihren Hauptnenner.

Hauptnenner

Erweitere 34und 16auf ihren Hauptnenner.

Hauptnenner

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Um Brüche mit unterschiedlichen Nennern addieren oder subtrahieren zu können, musst du zunächst den kleinsten gemeinsamen Nenner (kgN) ermitteln. Dieser entspricht dem kleinsten Vielfachen, das von jedem Nenner der Gleichung geteilt wird. In diesem Artikel lernst du einige verschiedene Methoden zur Ermittlung des kgN kennen. Außerdem erfährst du, wie du den kleinsten gemeinsamen Nenner in die Ausgangsgleichung einsetzt, um die Aufgabe zu lösen.

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   Schreibe die Vielfachen von jedem Nenner auf. Stelle für jeden Nenner der Gleichung eine Liste seiner Vielfachen auf. In dieser Auflistung soll der Wert des Nenners mit 1, 2, 3, 4, usw. multipliziert werden.

   • Beispiel: 1/2 + 1/3 + 1/5
   • Vielfachen von 2: 2 * 1 = 2; 2 * 2 = 4; 2 * 3 = 6; 2 * 4 = 8; 2 * 5 = 10; 2 * 6 = 12; 2 * 7 = 14; usw.
   • Vielfachen von 3: 3 * 1 = 3; 3 * 2 = 6; 3 *3 = 9; 3 * 4 = 12; 3 * 5 = 15; 3 * 6 = 18; 3 * 7 = 21; usw..
   • Vielfachen von 5: 5 * 1 = 5; 5 * 2 = 10; 5 * 3 = 15; 5 * 4 = 20; 5 * 5 = 25; 5 * 6 = 30; 5 * 7 = 35; usw.

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   Bestimme das kleinste gemeinsame Vielfache. Überfliege die einzelnen Auflistungen und markiere alle Vielfachen, die auch bei anderen Nennern auftauchen. Nachdem du alle gemeinsamen Vielfachen ermittelt hast, finde den kleinsten gemeinsamen Nenner.

   • Beachte dabei, dass wenn du zu diesem Zeitpunkt noch kein gemeinsames Vielfaches gefunden hast, deine Liste um weitere Zahlen erweitern musst, bis du schlussendlich auf ein gemeinsames Vielfaches stößt.
   • Beispiel: 2 * 15 = 30; 3 * 10 = 30; 5 * 6 = 30
   • Der kgN = 30

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   Schreibe die Ausgangsgleichung um. Um bei der Umwandlung der einzelnen Brüche den Wert der Ausgangsgleichung nicht zu verändern, musst du jeden Zähler mit dem gleichen Faktor multiplizieren, den du benutzt hast, um den Nenner auf den Wert des kleinsten gemeinsamen Vielfachen zu bringen.

   • Beispiel: 15 * (1/2); 10 * (1/3); 6 * (1/5)
   • Neue Gleichung: 15/30 + 10/30 + 6/30

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   Löse die Gleichung. Nachdem du den kgN gefunden und die Brüche entsprechend umgewandelt hast, solltest du die Aufgabe ohne weitere Probleme lösen können.

   • Beispiel: 15/30 + 10/30 + 6/30 = 31/30 = 1 1/30

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   Bestimme den größten gemeinsamen Teiler (ggT) von jedem Nenner. Finde heraus, ob es einen größten gemeinsamen Teiler zwischen den Nennern gibt, indem du jeden Nenner in seine Teiler zerlegst.

   • Beispiel: 3/8 + 5/12
   • Teiler von 8: 1, 2, 4, 8
   • Teiler von 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12
   • ggT: 4

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   Multipliziere die Nenner. Um den nächsten Schritt der Problemlösung angehen zu können, multipliziere die beiden Nenner miteinander.

   • Beispiel: 8 * 12 = 96

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   Teile das Ergebnis durch den ggT. Nachdem du das Produkt der beiden Nenner gebildet hast, teile das Ergebnis durch den vorhin ermittelten ggT. Diese Zahl wird dein kleinster gemeinsamer Nenner.

   • Beispiel: 96 / 4 = 24

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   Schreibe die Ausgangsgleichung um. Schreibe die Zähler der einzelnen Brüche um, indem du sie mit der gleichen Zahl multiplizierst, die du verwendet hast, um die Nenner auf den Wert des kgN zu bringen. Du findest den Faktor für jeden Bruch, indem du den kgN durch den ursprünglichen Nenner teilst.

   • Beispiel: 24 / 8 = 3; 24 / 12 = 2
   • 3 * (3/8) = 9/24; 2 * (5/12) = 10/24
   • 9/24 + 10/24

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   Löse die Gleichung. Nachdem du den kgN gefunden und die Brüche entsprechend umgewandelt hast, solltest du die Aufgabe ohne weitere Probleme lösen können.

   • Beispiel: 9/24 + 10/24 = 19/24

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   Zerlege jeden Nenner in eine Reihe von Primfaktoren. Erinnere dich daran, dass es sich bei Primzahlen um Zahlen handelt, die nur durch sich selbst und 1 teilbar sind.

   • Beispiel: 1/4 + 1/5 + 1/12
   • Primfaktorzerlegung von 4: 2 * 2
   • Primfaktorzerlegung von 5: 5
   • Primfaktorzerlegung von 12: 2 * 2 * 3

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   2

   Zähle nach, wie oft jede Primzahl in jeder Primfaktorzerlegung auftritt. Rechne zusammen, wie oft jede Primzahl in der Primfaktorzerlegung der einzelnen Nenner auftaucht.

   • Beispiel: Die Zahl 2 tritt 2x in 4; 0x in 5; 2x in 12 auf
   • Die Zahl 3 tritt 0x in 4; 0x in 5; 1x in 12 auf
   • Die Zahl 5 tritt 0x in 4; 1x in 5; 0x in 12 auf

3. 

   3

   Schreibe die größte Anzahl für jede Primzahl auf. Notiere dir die größte Anzahl, die jede Primzahl vorgekommen ist.

   • Beispiel: Die größte Anzahl von 2 ist zwei, von 3 ist eins; von 5 ist eins.

4. 

   4

   Schreibe die Primzahl genauso oft, wie du sie im vorherigen Schritt gezählt hast. Schreibe nicht auf, wie oft jede Primzahl innerhalb der Primfaktorzerlegung aufgetaucht ist. Schreibe nur die größte Anzahl auf, die du im letzten Schritt ermittelt hast.

   • Beispiel: 2, 2, 3, 5

5. 

   5

   Multipliziere die Primzahlen miteinander. Multipliziere die im letzten Schritt notierten Primzahlen miteinander. Das Produkt dieser Zahlen entspricht dem kgN der Ausgangsgleichung.

   • Beispiel: 2 * 2 * 3 * 5 = 60
   • kgN = 60

6. 

   6

   Schreibe die Ausgangsgleichung um. Teile den kgN durch jeden ursprünglichen Nenner. Multipliziere dann jeden Zähler mit der gleichen Zahl, die zur Umrechnung des Nenners in den entsprechenden kgN verwendet wurde.

   • Beispiel: 60/4 = 15; 60/5 = 12; 60/12 = 5
   • 15 * (1/4) = 15/60; 12 * (1/5) = 12/60; 5 * (1/12) = 5/60
   • 15/60 + 12/60 + 5/60

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   7

   Löse die Gleichung. Nachdem du den kgN herausgefunden und alle Nenner gleichnamig gemacht hast, kannst du die Brüche ganz normal addieren und subtrahieren.

   • Beispiel: 15/60 + 12/60 + 5/60 = 32/60 = 8/15

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   Wandle jede ganze und gemischte Zahl in einen unechten Bruch um. Du kannst gemischte Zahlen in unechte Brüche umwandeln, indem du die ganze Zahl mit dem Nenner multiplizierst und das Produkt anschließend zum Zähler addierst. Ganze Zahlen lassen sich in unechte Brüche umwandeln, indem du den Nenner 1 hinzufügst.

   • Beispiel: 8 + 2 1/4 + 2/3
   • 8 = 8/1
   • 2 1/4; 2 * 4 + 1 = 8 + 1 = 9; 9/4
   • Umgeschriebene Gleichung: 8/1 + 9/4 + 2/3

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   Finde den kleinsten gemeinsamen Nenner. Nutze jede der bisher vorgestellten Methoden zur Bestimmung des kgN und gehe nach den oben beschriebenen Schritten vor. Für unser Beispiel verwenden wir die Methode mit der "Auflistung der Vielfachen", bei der wir die Vielfachen der einzelnen Nenner aufschreiben, und den kgN daraus ablesen.

   • Hinweis: Du musst keine Liste für die Vielfachen von 1 machen, denn jede Zahl, die mit 1 multipliziert wird, ergibt sich selbst. Mit anderen Worten: Jede Zahl ist ein Vielfaches von 1.
   • Beispiel: 4 * 1 = 4; 4 * 2 = 8; 4 * 3 = 12; 4 * 4 = 16; usw.
   • 3 * 1 = 3; 3 * 2 = 6; 3 * 3 = 9; 3 * 4 = 12; usw..
   • Der kgN = 12

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   Schreibe die Ausgangsgleichung um. Anstatt nur den Nenner zu multiplizieren, musst du den gesamten Bruch mit der Zahl multiplizieren, die du zur Umrechnung des Nenners zum kleinsten gemeinsamen Nenner benötigst.

   • Beispiel: 12 * (8/1) = 96/12; 3 * (9/4) = 27/12; 4 * (2/3) = 8/12
   • 96/12 + 27/12 + 8/12

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   Löse die Gleichung. Nachdem du den kgN gefunden und die Brüche entsprechend umgewandelt hast, solltest du die Aufgabe ohne weitere Probleme lösen können.

   • Beispiel: 96/12 + 27/12 + 8/12 = 131/12 = 10 11/12

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Was du brauchst

• Stift
• Papier
• Taschenrechner (optional)

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