Quadratische Funktionen mit zwei NullstellenUnser wichtigstes Werkzeug, um die Nullstellen bestimmen zu können, ist die p-q-Formel, die du wahrscheinlich schon beim Lösen quadratischer Gleichungen eingesetzt hast. Mithilfe dieser Formel lassen sich quadratische Gleichungen, die in der Normalform stehen, durch direktes Einsetzen lösen. Show
MerkeMerkeHier klicken zum Ausklappen p-q-Formel $x_{1/2} = -\frac{\textcolor{red}{p}}{2}\pm \sqrt{(\frac{\textcolor{red}{p}}{2})^2-\textcolor{green}{q}}$ Bestimmung von p und von q: $f(x) = x^2+{\textcolor{red}{ p}} \cdot x +{\textcolor{green}{ q}} = 0$ Wichtig ist dabei, dass der Faktor vor dem $x^2$ gleich 1 ist. Ist dies nicht der Fall, musst du die Gleichung so umstellen, dass sich der Faktor 1 ergibt. Dies machst du, indem du die ganze Gleichung durch den Faktor vor $x^2$ teilst. Hierzu ein Beispiel: BeispielBeispielHier klicken zum Ausklappen $f(x) = 3\cdot x^2+6\cdot x-4$ 1. Quadratische Gleichung umformen $0 = 3\cdot x^2+6\cdot x-4$ $|:3$ Zuerst müssen wir durch 3 teilen, damit der Faktor vor dem $x^2$ gleich 1 ist. $0 = x^2+2\cdot x-\frac{4}{3}$ Nun haben wir die Funktion so umgestellt, dass wir p und q bestimmen können. 2. Bestimmung von p und q $0 = x^2+\textcolor{red}{2}\cdot x \textcolor{green}{-\frac{4}{3}}$ $0 = x^2+{\textcolor{red}{ p}} \cdot x +{\textcolor{green}{ q}} = 0$
3. p-q-Formel anwenden $x_{1/2} = -\frac{2}{2}\pm \sqrt{(\frac{2}{2})^2-(-\frac{4}{3})}$ $x_{1/2} = -\frac{2}{2}\pm \sqrt{\frac{2^2}{4}-(-\frac{4}{3})}$ $x_{1/2} = -1\pm \sqrt{1+\frac{4}{3}}$ $x_1 = -1 + \sqrt{1+\frac{4}{3}} \approx 0,53$ $x_2 = -1 - \sqrt{1+\frac{4}{3}} \approx -2,53$ Charakteristisch für quadratische Funktionen mit zwei Nullstellen ist, dass unter der Wurzel eine positive Zahl steht. Daraus ergeben sich zwei Werte für x( $x_1, x_2$). Dies lässt sich vor allem mit der p-q-Formel gut nachvollziehen, da wir einmal plus und einmal minus den Wert der Wurzel rechnen. $\rightarrow x_{1/2} = -\frac{p}{2}\textcolor{red}{\pm}\sqrt{\frac{p^2}{4}-q}$. Betrachten wir noch ein weiteres Beispiel. BeispielBeispielHier klicken zum Ausklappen $f(x) = -x^2+10\cdot x+16$ $0 = -x^2+10\cdot x+16 = 0$ $|\cdot (-1)$ Wir multiplizieren zunächst mit $-1$, damit der Faktor vor $x^2$ gleich $1$ ist. $0 = x^2 - 10\cdot x-16$ Nun können wir die Werte für p und q aus der Gleichung ablesen:
Charakteristisch für die Funktionen mit zwei Nullstellen, ist, dass unter der Wurzel eine positive Zahl steht. Daraus ergeben sich dann zwei Werte ($x_1, x_2$), da wir einmal plus und einmal minus den Wert der Wurzel rechnen. $\rightarrow x_{1/2} = -\frac{p}{2}\textcolor{red}{\pm}\sqrt{\frac{p^2}{4}-q}$. Quadratische Funktionen mit einer NullstelleQuadratische Funktionen, die nur genau eine Nullstelle haben, berühren die x-Achse in einem Punkt. Man sagt dazu auch, dass der Graph die x-Achse tangiert. Schauen wir uns ein Beispiel an: BeispielBeispielHier klicken zum Ausklappen 1. Quadratische Funktion gleich null setzen $f(x) = x^2 - 8\cdot x + 16$ $0 = x^2 - 8\cdot x + 16$ 2. Bestimmung von p und q
3. p-q-Formel anwenden $x_{1/2} = -\frac{-8}{2}\pm \sqrt{\frac{-8^2}{4}-(16)}$ Beim Berechnen der Nullstelle mithilfe der p-q-Formel solcher Funktionen, erkennen wir sofort eine Besonderheit: Bei der Anwendung der p-q-Formel ergibt der Wert unterhalb der Wurzel immer null. Aus diesem Grund kommen keine unterschiedlichen Ergebnisse für $x_1$ und $x_2$ heraus und wir erhalten lediglich genau eine Nullstelle. Quadratische Funktionen ohne NullstelleWie kann es sein, dass eine quadratische Funktion keine Nullstelle besitzt? Betrachten wir beispielsweise die Funktion $f(x) = x^2 - 4\cdot x + 5$. Wir erkennen, dass der Graph die x-Achse weder schneidet noch berührt. Er besitzt also keine Nullstelle.  Welches Ergebnis erhalten wir aber, wenn wir versuchen, die Nullstellen der Funktion mithilfe der p-q-Formel zu berechnen? BeispielBeispielHier klicken zum Ausklappen 1. Quadratische Gleichung gleich null setzen $f(x) = x^2-4x+5$ $0 = x^2-4x+5$ 2. Bestimmung von p und q
3. p-q-Formel anwenden $x_{1/2} = -\frac{-4}{2}\pm \sqrt{(\frac{-4}{2})^2-(5)}$ Da die p-q-Formel nicht lösbar ist, gibt es kein Ergebnis und somit auch keine reellen Nullstellen. Anzahl der Nullstellen aus der p-q-Formel ablesenMerkeMerkeHier klicken zum Ausklappen Zwei Nullstellen Genau eine Nullstelle Keine Nullstelle Beispielaufgabe - Nullstellen berechnenSchauen wir uns diese Funktionen an, die zwei Schnittpunkte mit der x-Achse und somit auch zwei Nullstellen hat. $f(x) = 4 x^2 +12 x + 6$ Versuche die Nullstellen einmal selber mithilfe der p-q-Formel zu berechnen. VertiefungHier klicken zum Ausklappen 1. Quadratische Gleichung umformen $f(x) = 4 x^2 +12 x + 6$ $0 = 4 x^2 +12 x + 6$ $|:4$ 2.
Bestimmung von p und q 3. p-q-Formel anwenden $x_{1/2} = -\frac{3}{2}\pm \sqrt{(\frac{3}{2})^2-1,5}$ Jetzt kannst du die Nullstellen von quadratischen Funktionen mithilfe der pq-Formel berechnen. Teste dein neu erlerntes Wissen jetzt mithilfe unserer Übungen. Viel Spaß und Erfolg dabei! Wie viele Nullstellen hat eine quadratische Funktion mindestens?Eine quadratische Funktion hat maximal zwei Nullstellen.
Hat jede quadratische Funktion eine Nullstelle?Die quadratische Gleichung hat keine Lösungen und somit gibt es auch keine Nullstellen.
Wann hat eine quadratische Funktion zwei Nullstellen eine Nullstelle oder keine Nullstelle?Ist q > 0, so existiert kein Schnittpunkt mit der x-Achse und demzufolge keine Nullstelle; für q < 0 dagegen gibt es zwei Abszissen-Schnittpunkte und folglich zwei Nullstellen.
Warum kann eine quadratische Funktion maximal 2 Nullstellen haben?Zwei Nullstellen
Das ist kein Zufall. Parabeln sind achsensymmetrisch. Die Symmetrieachse verläuft parallel zu der y-Achse durch den Scheitelpunkt. Das bedeutet, dass für den Fall zweier Nullstellen diese den gleichen Abstand zu der x-Koordinate des Scheitelpunktes haben müssen.
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Haben quadratische Funktionen immer 2 Nullstellen?
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