Wann rechne ich mit Sinus Kosinus und Tangens?

Um die Größe des Winkels $\alpha$ zu berechnen, musst du zuerst das Verhältnis von Gegenkathete zu Hypotenuse bestimmen. Also einfach $\frac{Gegenkathete}{Hypotenuse}$ ausrechnen. Das Ergebnis davon wird dann in die Umkehrfunktion von Sinus, also in $sin ^{-1}$, eingesetzt.

Beispiel

$\alpha =~?$,  Hypotenuse $=~6~cm$,  Gegenkathete $=~3~cm$

$sin(\alpha) = \frac{Gegenkathete}{Hypotenuse}$

$sin(\alpha) = \frac{3~cm}{6~cm} = {0,5}$

$\alpha = {sin^{-1}(0,5)} = 30 ^\circ$

Somit gilt: $\alpha$ = $30^\circ$

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Gegenkathete

Zur Berechnung der Gegenkathete benötigst du die Länge der Hypotenuse und die Größe des Winkels. Du setzt beide Werte in die Formel ein und stellst die Formel dann nach der Gegenkathete um.

Beispiel

$\alpha = 30 ^\circ$ ,   Hypotenuse = $8,5~cm$ ,   Gegenkathete = $?$

$sin(\alpha) = \frac{Gegenkathete}{Hypotenuse}$

$sin(30 ^\circ) = \frac{Gegenkathete}{8,5~cm}$

$sin(30 ^\circ)\cdot 8,5~cm = {Gegenkathete}$

$Gegenkathete = 4,25~cm$

Die Gegenkathete ist 4,25 cm lang.

Übrigens haben die Ergebnisse meist viele Nachkommastellen. Also wundere dich nicht, wenn dein Ergebnis viele Nachkommastellen hat. Du kannst das Ergebnis dann auf zwei Nachkommastellen runden.

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Hypotenuse

Zuletzt zur Berechnung der Hypotenuse. Hierfür brauchst du die Länge der Gegenkathete und die Größe des Winkels.
Du setzt beide Werte wieder in die Formel ein. Dann stellst du die Formel nach der Hypotenuse um.

Beispiel

$\alpha = 45 ^\circ $ ,  Hypotenuse $=~?~cm$ ,  Gegenkathete $=~4~cm$

$sin(\alpha) = \frac{Gegenkathete}{Hypotenuse}$

$sin(45 ^\circ) = \frac{4~cm}{Hypotenuse}$

$sin(45 ^\circ)\cdot Hypotenuse = {4~cm}$

$ Hypotenuse = \frac{4~cm}{sin(45 ^\circ)}$

$ Hypotenuse = 4\sqrt{2}~cm  {\approx}  5,657~cm$

Somit ist die Hypotenuse ungefähr 5,657 cm lang.

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In manchen Aufgaben sind die Seiten in unterschiedlichen Längeneinheiten angegeben. Dies kann vorkommen, wenn die Größe des Winkels gesucht ist und die Lägen der Gegenkathete und der Hypotenuse gegeben sind. Bevor du die Werte der Seiten in die Formel einsetzt, musst du die Längen dann zunächst so umrechnen, dass sie in derselben Einheit stehen, beispielsweise beide Seiten in Zentimeter oder beide Seiten in Meter.

Jetzt weißt du, wie man mit der Winkelfunktion Sinus umgeht. Dein neues Wissen kannst du nun an unseren Übungsaufgaben testen. Dabei wünschen wir dir viel Spaß und Erfolg!

Hier erfährst du, welche Zusammenhänge zwischen den Winkeln in einem rechtwinkligen Dreieck bestehen und wie du diese ausnutzen kannst um andere Größen des Dreiecks zu berechnen.

sin²(α) + cos²(α) = 1

Es gibt einen weiteren wichtigen Zusammenhang zwischen Sinus und Kosinus eines Winkels:

Für jeden spitzen Winkel α gilt: sin2α+cos2α=1 (dabei ist sin2α=sinα2 und cos2α=cosα2 )

Das lässt sich an einem rechtwinkligen Dreieck schnell herleiten:

Wenn sinα=0.6 , dann cosα=0.8 . Du stellst sin2α+cos2α=1 nach cosαum: cos2α=1-sin2α Also:

In diesem Abschnitt zur Trigonometrie zeigen wir euch, wir ihr mit Sinus, Cosinus / Kosinus und Tangens Winkel berechnen könnt. Dabei lernt ihr Begriffe wie Ankathete, Gegenkathete und Hypotenuse kennen. Neben Erklärungen und Beispielen findet ihr zu dem auch Übungsaufgaben, um mit den Inhalten selbst besser zurecht zu kommen.

Die Sinus-, Kosinus- und Tangens-Funktion zum Berechnen eines Winkels darf nur an einem rechtwinkligen Dreieck angewendet werden. Die folgende Grafik zeigt euch ein solches Dreieck. Unterhalb findet ihr weitere Informationen dazu:

Sinus, Kosinus und Tangens (Winkelfunktionen) Video:
Dieser Artikel liegt auch als Video vor.

Ankathete, Gegenkathete und Hypotenuse

Soweit ein Dreieck. An diesem Punkt müsst ihr euch nun ein paar Begriffe merken. Diese tauchen immer wieder bei der Berechnung auf. Zu dem sind ein paar Eigenschaften festzuhalten:

• Rechts, unten im Dreieck wurde ein rechter Winkel eingezeichnet
• Den Winkel links unten bezeichnen wir als α ( gesprochen: Alpha )
• Die Seite "a" wird als Gegenkathete bezeichnet, denn sie liegt gegenüber vom Winkel α
• Die Seite "b" wird als Ankathete bezeichnet, denn sie liegt am Winkel α
• Die Seite "c" wird als Hypotenuse bezeichnet

Die Bezeichnungen Ankathete, Gegenkathete und Hypotenuse sollten euch bereits vom Satz des Pythagoras bekannt sein. Mit diesem Wissen können wir nun Winkel und - falls der Winkel gegeben ist - Längen ausrechnen.

Zeit zu rechnen. Dabei beginnen wir mit dem Sinus. Es gilt der folgende mathematische Zusammenhang:

Anmerkungen:

• Für Alpha ( α ) wird ein Winkel in Grad eingesetzt, zum Beispiel 20 Grad oder 40 Grad.
• Die Längen für die Gegenkathete und Hypotenuse müssen in gleichen Einheiten eingesetzt werden, zum Beispiel alles in Meter einsetzen.
• Ihr müsst euren Taschenrechner auf DEG ( Degree ) einstellen, sonst bekommt ihr ein falsches Ergebnis raus.
• Wenn ihr den Winkel ausrechnen wollt, müsst ihr mit arcsin arbeiten ( Siehe Beispiele )

Beispiel 1:
Die Gegenkathete hat eine Länge von 3cm ( a = 3cm ) und die Hypotenuse hat eine Länge von 5cm ( c = 5cm ). Wie groß ist der Winkel α ( Alpha )?

Lösung:sinα = a : csinα = 3cm : 5cmsinα = 0.6| arcsinα = 36,87 Grad

Setzt die Zahlen in die Sinus-Gleichung ein. Danach wird die Division auf der rechten Seite ausgerechnet. Ihr erhaltet sinα = 0.6. Nun kommt der interessante Teil: Um das sin weg zu bekommen, müsst ihr arcsin nutzen. In den Taschenrechner müsst Ihr also arcsin 0,6 eingeben. Es errechnet sich dadurch ein Winkel von 36,87 Grad ( sofern ihr euren Taschenrechner auf Degree stellt ).

Cosinus / Kosinus

Nach dem Sinus kommen wir nun zum Cosinus / Kosinus. Die Formel sieht wie folgt aus:

Anmerkungen:

• Für Alpha ( α ) wird ein Winkel in Grad eingesetzt, zum Beispiel 25 Grad oder 45 Grad.
• Die Längen für die Ankathete und Hypotenuse müssen in gleichen Einheiten eingesetzt werden, zum Beispiel alles in Meter einsetzen.
• Ihr müsst euren Taschenrechner auf Degree einstellen, sonst bekommt ihr ein falsches Ergebnis raus.
• Wenn ihr den Winkel ausrechnen wollt, müsst ihr mit arccos arbeiten ( Siehe Beispiele )

Beispiel 2:

Die Ankathete hat eine Länge von 3cm ( b = 3cm ) und die Hypotenuse hat eine Länge von 5cm ( c = 5cm ). Wie groß ist der Winkel α ( Alpha )?

Lösungcosα = b : ccosα = 3cm : 5cmcosα = 0.6| arccosα = 53,13 Grad

Setzt die Zahlen in die Cosinus-Gleichung ein. Danach wird die Division auf der rechten Seite ausgerechnet. Ihr erhaltet cosα = 0.6. Nun kommt der interessante Teil: Um das cos weg zu bekommen, müsst ihr arccos nutzen. In den Taschenrechner müsst ihr also arccos 0,6 eingeben. Es errechnet sich dadurch ein Winkel von 53,13 Grad ( sofern ihr euren Taschenrechner auf Degree stellt ).

Nach Sinus und Kosinus geht es nun an die Tangens-Funktion. Auch hier zunächst erst einmal die Formel:

Anmerkungen:

• Für Alpha ( α ) wird ein Winkel in Grad eingesetzt, zum Beispiel 30 Grad oder 50 Grad.
• Die Längen für die Gegenkathete und Ankathete müssen in gleichen Einheiten eingesetzt werden, zum Beispiel alles in Meter einsetzen.
• Ihr müsst euren Taschenrechner auf DEG ( Degree ) einstellen, sonst bekommt ihr ein falsches Ergebnis raus.
• Wenn ihr den Winkel ausrechnen wollt, müsst ihr mit arctan arbeiten ( Siehe Beispiele )

Beispiel 3:

Die Ankathete hat eine Länge von 3cm ( b = 3cm ) und die Gegenkathete hat eine Länge von 3cm ( a = 3cm ). Wie groß ist der Winkel α ( Alpha )?

Lösungtanα = a : btanα = 3cm : 3cmα = 45 Grad

Setzt die Zahlen in die Tangens-Gleichung ein. Danach wird die Division auf der rechten Seite ausgerechnet. Ihr erhaltet tanα = 1. Nun kommt der interessante Teil: Um das tan weg zu bekommen, müsst ihr arctan nutzen. In den Taschenrechner müsst ihr also arctan 1,0 eingeben. Es errechnet sich dadurch ein Winkel von 45 Grad ( sofern ihr euren Taschenrechner auf Degree stellt ).

Wann rechnet man mit Sinus Cosinus oder Tangens?

Wann rechne ich mit Kosinus?

Wann rechnet man mit Sinus?

Wann rechnet man mit Tangens?