Im letzten Beitrag ging es um den Schnittpunkt von Parabel und Gerade. Zuerst erkläre ich anhand eines Beispiels, wie man den Schnittpunkt zweier Parabeln berechnet. Anschließend stelle ich Übungsaufgaben hierzu und einen interaktiven
Rechner zur Verfügung. Zuletzt erläutere ich dies. Diesmal wollen wir die Schnittpunkte zweier Parabeln bestimmen und wir haben dafür deren Funktionsgleichungen. f(x)= x^2 - 4x +1 \, bzw. \, f(x) \\ = (x - 2)^2 - 3 \Rightarrow S(2|-3) Wenn der Schnittpunkt der
Graphen zweier Funktionen bestimmt werden soll, dann setzt man die Funktionsgleichungen gleich. Das galt schon für die Schnittpunkte von Geraden und ebenfalls von Gerade und Parabel. Deshalb wendet man dieses Verfahren auch bei zwei Parabeln an. f(x) = g(x) \Leftrightarrow f(x) - g(x) = 0 Jetzt kannst du üben: Bestimme die Schnittpunkte folgender Parabeln. Zeichne danach die Graphen! Gib die Koeffizienten beider Funktionsgleichungen ein. Danach berechnet das Javascript die Schnittpunkte. Außerdem zeichnet es die beiden Graphen. a) Wir sehen also, dass es zwei Schnittpunkte gibt, denn D> 0. b) Außerdem es gibt nur einen Berührungspunkt, denn D = 0. c) Hier gibt es keinen Schnittpunkt, denn D < 0. d) Wenn das Gleichsetzen von f(x) und g(x) auf eine lineare Gleichung führt, haben beide Parabeln nur einen Schnittpunkt. Die Anzahl der Schnittpunkte, die zwei Parabeln miteinander haben, ist folglich direkt aus der Diskriminante ablesbar. Im
nächsten Beitrag geht es darum, wie man die Funktionsgleichung für eine quadratische Funktion aufstellt, wenn man drei ihrer Punkte kennt. Hier eine Übersicht über weitere Beiträge zu Quadratischen Funktionen, darin auch Links zu Aufgaben. Über 80 € Preisvorteil gegenüber Einzelkauf! Mathe-eBooks im Sparpaket Von Schülern, Studenten, Eltern und Jetzt Mathebibel herunterladen Im Folgenden wirst Du erfahren, wie zwei Parabeln im Koordinatensystem verlaufen können und wie oft sich diese schneiden. Rückblick: Parabeln und pq-FormelParabeln sind in der Mathematik Funktionen zweiten Grades. Grafisch kannst du dir diese u-förmig bzw. n-förmig vorstellen. Diese Funktionen finden in der Mathematik häufig Anwendung bei Sachaufgaben, wenn beispielsweise die Länge eines Brückenbogens oder die Höhe einer Welle ausgerechnet werden muss. Eine Funktion zweiten Grades ist von folgender Form: f(x)=a·x2+b·x+c wobei a,b,c∈ℝ . a stellt den Streckungsfaktor, b die Verschiebung in x-Richtung und c die Verschiebung in y-Richtung dar. Im Folgenden schauen wir uns noch einmal kurz den Verlauf einer Parabel an. In unserem Fall die Funktion: f(x)= 2x2-3x+2 Im Koordinatensystem sieht diese dann so aus:
Abbildung 1: Eine Parabel mit Scheitelpunkt Die pq-Formel dient zur Berechnung der Nullstellen einer quadratischen Funktion. In der Berechnung der Schnittpunkte von Parabeln werden wir diese Formel brauchen, da die Nullstellen des entsprechenden Ausdrucks die Schnittstellen der Schnittpunkte sind. Die pq-Formel lautet: x1,2=-p2±p22-q Dabei ist zu beachten, dass die quadratische Gleichung von folgender Form ist: x2+px+q=0 Falls du damit aber noch Schwierigkeiten haben solltest, dann schau' dir doch den Artikel pq-Formel im Kapitel Nullstellen quadratischer Funktionen an. Nun möchten wir diese Formel an einem Beispiel anwenden: Gegeben ist die folgende quadratische Gleichung: 2x2+8x-24=0 Zuerst normieren wir diese Gleichung, d. h. vor dem x2 darf nichts mehr stehen, in unserem Fall teilen wir durch 2: x 2+4x-12=0 Danach bestimmst du p und q und setzt auch schon in die Gleichung ein! x1,2=-42±42 2--12x1,2=-2±22+12x1,2=-2±4+ 12x1,2=-2±16x1,2=-2±4x1=2x2 =-6 Es kann aber auch sein, dass ihr in der Schule bisher nur die Mitternachtsformel zur Berechnung der Lösungen quadratischer Gleichungen behandelt habt. Daher gehen wir auch auf diese noch etwas genauer ein. Mit der Mitternachtsformel x1,2=-b±b2-4ac2a können die Lösungen einer quadratischen Gleichung der Form 0=ax2+bx+c bestimmt werden. Die Mitternachtsformel wird manchmal auch a-b-c-Formel genannt. Ihr richtiger Name ist aber eigentlich Lösungsformel für quadratische Gleichungen. Hier nehmen wir uns das gleiche Beispiel von oben und überprüfen nun, ob die errechneten Lösungen auch richtig sind: 2x2+8x-24=0 a=2b=8c=-24 Nachdem wir die Variablen bestimmt haben, setzen wir diese auch schon in die Mitternachtsformel ein: x1,2=-8±8 2-4·2·-242·2x1,2=-8±64--1924x 1,2=-8±64+1924x1,2=-8±64+1924x1, 2=-8±2564x1,2=-8±164x1=2x2 =-6 Schnittpunkte von Parabeln – ÜbersichtNachdem wir jetzt über die Grundlagen geschaut haben, überlegen wir uns in diesem Abschnitt, in welcher Beziehung zwei Parabeln zueinander stehen können. Sie könnten beispielsweise identisch sein, dann wären alle Punkte der Parabeln Schnittpunkte. Eine der beiden Parabeln könnte nach oben geöffnet sein und die andere nach unten. Dann wäre es möglich, dass sich die Parabeln lediglich in einem Punkt berühren, dass sie sich gar nicht treffen oder sogar in zwei Punkten schneiden. Zusammengefasst gilt: Zwei Parabeln haben entweder keinen, einen, zwei oder unendlich viele Schnittpunkte. In der folgenden Tabelle findest du eine Übersicht zu den vier Fällen:
Schnittpunkte von Parabeln – BerechnungNun sollst du nicht immer alles zeichnen müssen, um die Anzahl oder sogar die genauen Schnittpunkte zu bestimmen! Daher siehst du jetzt, wie du ganz einfach die Schnittpunkte zweier Parabeln bestimmen kannst. Für alle vier Fälle kannst du dasselbe Vorgehen zur Berechnung nutzen! Im Schnittpunkt haben beide Parabeln den gleichen x- und y-Wert. Da Funktionsgleichungen immer in Abhängigkeit von y geschrieben sind, können wir die Funktionsgleichungen der beiden gegebenen quadratischen Funktionen gleichsetzen und die so entstandene Gleichung nach x auflösen. An dieser Stelle entscheidet sich, wie viele Schnittpunkte die beiden Parabeln haben:
Setzt man die ermittelten x-Werte dann in eine der beiden Funktionsgleichungen ein, so erhält man die y-Werte der Schnittpunkte. Dieses Vorgehen schauen wir uns jetzt konkret an. Gegeben sind zwei quadratische Funktionen. Gesucht sind die Schnittpunkte dieser beiden. f(x)=2x2-3x+2g(x)=-4x2+5 1. Schritt: Funktionen gleichsetzen. f(x)=g(x)2x2 -3x+2=-4x2+5 2. Schritt: Alles auf eine Seite bringen. 2x2-3x+2= -4x2+5|+4x26x2-3x+2=5 |-56x2-3x-3=0 Wenn in der Gleichung nur x2, aber kein x vorkommt, dann löst du diese Gleichung, indem du die Zahlen auf die eine Seite und x2 auf die andere Seite bringst, und dann die Wurzel ziehst. 3. Schritt: Die Gleichung normieren, so dass vor dem x2 nichts mehr steht. 6x2-3x-3=0|:6x2 -12x-12=0 4. Schritt: pq-Formel anwenden. x2-12x-12=0x1,2=14±116+12 x1,2=14±916x1,2=14±34x1=1 x2=-12 5. Schritt: Nun setzt du die x-Werte in eine der vorgegebenen Funktionsgleichungen ein. g(1)=-4· 12+5=1g-12=-4·14+5=4 6. Schritt: x-Werte und die entsprechenden Funktionswerte als Schnittpunkt angeben. S1-12|4,S21|1 Zeichnerisch können wir die Rechnung natürlich überprüfen:
Abbildung 6: Die zwei Parabeln mit den eingezeichneten Schnittpunkten Schnittpunkte berechnen Parabeln – SchemaFolgendes Schema als Vorgehensweise empfehlen wir Dir:
Sollte imzweiten Schrittauf beiden Seiten 0 stehen, also0=0, dann sind dieFunktionenidentisch und alle Punkte derFunktionsind automatisch auch Schnittpunkte. Stelle dir dazu vor, dass du den Schnittpunkt folgender Funktionen berechnen sollst: f(x)=x2-2x+1g(x)=x2-2x+1 1. Schritt: Funktionen gleichsetzen. f(x)=g(x)x 2-2x+1=x2-2x+1 2. Schritt: Alles auf eine Seite bringen. 0=0 Wenn im vierten Schritt unter der Wurzel 0 rauskommt, dann schneiden sich die Funktionen nur in einem Punkt und falls die Wurzel negativ ist, haben die Funktionen keinen gemeinsamen Schnittpunkt. Stelle dir dazu vor, dass du im dritten Schritt folgendes gegeben hast: x2-4x+4=0 Dann siehst du im vierten Schritt folgendes: x1,2=42±422-4x1,2=2 ±22-4x1,2=2±4-4x1,2=2±0x1,2 =2±0x1=2 Schnittpunkte berechnen Parabeln – ÜbungenZum Abschluss kannst du dich selbst noch einmal testen und die folgende Aufgabe zur Schnittpunktberechnung zweier Parabeln lösen! Falls du Schwierigkeiten hast, dann schaue dir die Schrittanleitung nochmal an. Aufgabe 1Berechne die Schnittpunkte der beiden folgenden Funktionen! fx=x2 -4x+1gx=-x2+2x+1 Lösung1. Schritt: fx= gxx2-4x+1=-x2+2x+1 2. Schritt: x2 -4x+1=-x2+2x+12x2-6x=0 3. Schritt: x2-3x =0 4. Schritt: x1,2=--32±322x 1,2=32±32x1=3x2=0 5. Schritt: f 3=32-4·3+1=-2f0=02-4·0+1=1 6. Schritt: Die Schnittpunkte lauten also: S13|-2undS20|1 Aufgabe 2Berechne die Schnittpunkte der beiden folgenden Funktionen! fx=x2gx=-x2-1 Lösung1. Schritt: fx=gxx2=-x2-1 2. Schritt: 2x2+1=0 3. Schritt: x2+12=0 4. Schritt: x1,2= -02±022-12x1,2=0±0-12x1,2 =±-12 Aus einer negativen Zahl kann keine Wurzel gezogen werden. Daher gibt es keine Lösung und die gegebenen Funktionen haben keinen Schnittpunkt. Aufgabe 3Berechne die Schnittpunkte der beiden folgenden Funktionen! fx=3x2-2x+2gx=-3x2-2x+2 Lösung1. Schritt: f(x)=g(x)3x2-2x+2=-3x2-2x+2 2. Schritt: 6x2=0 3. Schritt x2=0 4. Schritt: x1,2=-02±022-0x1,2=0±0-0x 1,2=0±0x1=0 5. Schritt: f0=3·02-2·0+ 2=2 6. Schritt: Der Schnittpunkt liegt also bei: S(0|2) Schnittpunkte Parabeln – Das Wichtigste
Wie berechnet man den Schnittpunkt von Funktionen?Um den Schnittpunkt von zwei Funktionen zu berechnen, setzt du ihre Funktionsterme gleich und formst die Gleichung nach x um. Für die Graphen f(x) = 2x und g(x) = x+3 sind die Koordinaten des Schnittpunkts S(x0|f(x0)) = S(2|4).
Wie berechnet man den Schnittpunkt einer quadratischen und einer linearen Funktion?Möchte man von Parabel und Gerade die Schnittpunkte berechnen, kann immer wie folgt vorgegangen werden: Funktionen gleichsetzen und auf Normalform. bringen. x-Wert der Schnittpunkte berechnen: Quadratische Gleichung lösen (mit pq-Formel), indem Nullstellen berechnet werden.
Wie berechnet man den Y Schnittpunkt?Die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen kannst du mit Hilfe der Parameter in der Geradengleichung in Normalform (y=mx+b) schnell bestimmen. Den y-Achsenabschnitt kannst du direkt ablesen, die Gerade schneidet die y-Achse im Punkt (0|b).
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Wie berechnet man den Schnittpunkt bei einer quadratischen Funktion?
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