Wie nennt man x hoch 2?

Ganzrationale Funktionen sind Funktionen der Form: $f (x)$ = $a$ n $x$ n + $a$n-1$x$ n-1 + ... + $a$ 2 $x$ 2 + $a$ 1$x$ + $a$0

"wobei $a$ n, $a$ n-1, ..., $a$1, $a$0 reelle Zahlen sind und $a$n nicht Null ist und $n$ eine beliebige natürliche Zahl ist."

Funktionen, bei denen $n=1$ ist, heißen lineare Funktionen ( $f(x)$ = $a$1$x$ + $a$0 ).

Funktionen, bei denen $n=2$ ist, heißen quadratische Funktionen ( $f(x)$ = $a$2$x$2 + $a$1$x$ + $a$0 ).

Die Buchstaben vor den Potenzen werden oft anders benannt, so wie hier bei uns im weiteren Text.

Ganzrationale Funktionen: Lineare Funktionen

Das Bild von linearen Funktionen ist eine Gerade, wie du in der nächsten Grafik sehen kannst. Das bedeutet, dass die Steigung in jedem Punkt gleich ist. Das Anstiegsdreieck, das du in der Abbildung siehst, könntest du auch entlang der Funktion verschieben.

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$f(x) = \textcolor{red}{m}\cdot x + \textcolor{blue}{n}$

$\textcolor{red}{m: Steigung}$
$\textcolor{blue}{n: y-Achsenabschnitt}$

$x:$ unabhängige Variable
$f(x) = y:$ abhängige Variable

Abbildung einer linearen Funktion mit y-Achsenabschnitt, Nullstelle und Steigungsdreieck

Ganzrationale Funktionen: Quadratische Funktionen

Bei quadratischen Funktionen wird das $x$ zum Quadrat genommen: $\rightarrow f(x) = ax^2+bx+c$

Es ergibt sich die Form einer Parabel:

Außer beim Scheitelpunkt gibt es zu jedem y-Wert zwei x-Werte.

Quadratische Funktionen können sowohl in der Normalform als auch in der Scheitelpunktform angegeben sein:

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Allgemeine Form: $f(x) = \textcolor{red}{a} \cdot {x^2} + {b} \cdot {x} +c$

Scheitelpunktform: $f(x) = \textcolor{red}a\cdot(x−\textcolor{blue}d)^2+\textcolor{green}e$
Streckungsfaktor: $\textcolor{red}a$
Scheitelpunkt: S $(\textcolor{blue}d/\textcolor{green}e)$

Die beiden Formen kann man gegenseitig ineinander umformen.

Exponentialfunktionen

Bei Exponentialfunktionen steht die Variable im Exponenten.

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Eine Funktion der Form $f(x) = a^{~x}$ nennt man Exponentialfunktion. Dabei ist $a$ eine positive reelle Zahl.

Den Definitionsbereich bilden alle relle Zahlen ($D$ = ℝ). Der Wertebereich ist die Menge aller positiven reellen Zahlen ($W$ = ]0 ❘ ∞[ ).

Ist $a$ eine Zahl zwischen Null und Eins, so ist die Funktion streng monoton fallend, ist $a$ größer als Eins, so ist die Funktion streng monoton wachsend. Die x-Achse ist stets Asymptote. Der Punkt (0 ❘ 1) ist gemeinsamer Punkt all dieser Funktionen.

Abbildung: Exponentialfunktion

Logarithmusfunktionen

Exponentialfunktionen und Logarithmusfunktionen sind Umkehrfunktionen voneinander.

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Eine Funktion der Form $f(x)=log_a⁡x$ nennt man ELogarithmusfunktion. Dabei ist $a$ eine positive reelle Zahl.
Den Definitionsbereich bilden alle positive reellen x-Werte (D=]0|∞[). Der Wertebereich ist die Menge aller reellen Zahlen (W=R).
Ist $a$ eine Zahl zwischen Null und Eins, so ist die Funktion streng monoton fallend, ist a größer als Eins, so ist die Funktion streng monoton wachsend. Die y-Achse ist stets Asymptote. Der Punkt P(1|0) ist gemeinsamer Punkt aller dieser Funktionen.

Trigonometrische Funktionen Sinus, Kosinus und Tangens

Sinus, Kosinus und Tangens sind trigonometrische Funktionen (Winkelfunktionen) mit denen du Berechnungen in einem Dreieck durchführen kannst. Wir beschränken uns hier wieder auf die Angabe einiger Eigenschaften.

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Sinus
Definitionsbereich: D=R oder: alle reellen x
Wertebereich: $W=[-1|1]$ oder: $-1≤y≤1$
Nullstellen:$x_k=kπ$
Maxima bei: $x_k= \frac{π}{2}+2kπ$
Minima bei: $x_k= \frac{3π}{2}+2kπ$
kleinste Periode: $2π$
$k$ ist jeweils eine beliebige ganze Zahl

Abbildung: Graph der Sinusfunktion

Nun hast du eine Übersicht über die mathematischen Funktionen erhalten. Du kannst dein Wissen mit unseren Übungsaufgaben zu ganzrationalen Funktionen und anderen Funktionen testen. Viel Erfolg dabei!

Für $n = 0$ wird die Potenzfunktion folglich zu einer konstanten Funktion mit der Funktionsgleichung $f(x) = x^0 = 1$ .

Definitionsmenge

Die Definitionsmenge $\mathbb{D}_f$ ist die Menge aller $x$ -Werte, die in die Funktion $f$ eingesetzt werden dürfen.

Bei Potenzfunktionen hängt die Definitionsmenge davon ab, welche Werte wir für den Exponenten zulassen. Eine ausführliche Besprechung folgt in den nächsten Abschnitten.

Wertemenge

Die Wertemenge $f$ 1 ist die Menge aller $f$ 2-Werte, die die Funktion $f$ unter Beachtung ihrer Definitionsmenge $\mathbb{D}_f$ annehmen kann.

Bei Potenzfunktionen hängt die Wertemenge davon ab, welche Werte wir für den Exponenten zulassen. Eine ausführliche Besprechung folgt in den nächsten Abschnitten.

Potenzfunktionen mit positiven Exponenten

In diesem Abschnitt untersuchen wir folgende Funktionen: $f$ 5 mit $f$ 6.

Die Graphen von Potenzfunktionen heißen Parabeln $f$ 7-ter Ordnung, wenn der Exponent $f$ 7 positiv und $f$ 9 ist.

Sonderfall: Für $$ f(x) = x^n \quad \text{ mit } n \in \mathbb{Z}\setminus\{0\} $$0 ist der Graph der Potenzfunktion eine Gerade (Lineare Funktionen).

Beispiel 1

Der Graph der Funktion $$ f(x) = x^n \quad \text{ mit } n \in \mathbb{Z}\setminus\{0\} $$1 ist eine Parabel 2. Ordnung.

Beispiel 2

Der Graph der Funktion $$ f(x) = x^n \quad \text{ mit } n \in \mathbb{Z}\setminus\{0\} $$2 ist eine Parabel 3. Ordnung.

Die Eigenschaften der Funktionen unterscheiden sich danach, ob die Exponenten gerade oder ungerade sind.

Gerade Exponenten

Beispiel 3

Als Beispiele dienen die Funktionen $$ f(x) = x^n \quad \text{ mit } n \in \mathbb{Z}\setminus\{0\} $$1 und $$ f(x) = x^n \quad \text{ mit } n \in \mathbb{Z}\setminus\{0\} $$4.

Um die Graphen besser zu zeichnen, berechnen wir zunächst einige Funktionswerte:

$$ f(x) = x^n \quad \text{ mit } n \in \mathbb{Z}\setminus\{0\} $$5

Die Abbildung zeigt den Graphen der

Potenzfunktion $$ f(x) = x^n \quad \text{ mit } n \in \mathbb{Z}\setminus\{0\} $$1
(= Parabel 2. Ordnung)
Potenzfunktion $$ f(x) = x^n \quad \text{ mit } n \in \mathbb{Z}\setminus\{0\} $$4
(= Parabel 4. Ordnung)

Abb. 1

Ungerade Exponenten

Beispiel 4

Als Beispiele dienen die Funktionen $$ f(x) = x^n \quad \text{ mit } n \in \mathbb{Z}\setminus\{0\} $$2 und $$ f(x) = x^n \quad \text{ mit } n \in \mathbb{Z}\setminus\{0\} $$9.

Um die Graphen besser zu zeichnen, berechnen wir zunächst einige Funktionswerte:

$\mathbb{Z}$ 0

Die Abbildung zeigt den Graphen der

Potenzfunktion $$ f(x) = x^n \quad \text{ mit } n \in \mathbb{Z}\setminus\{0\} $$2
(= Parabel 3. Ordnung)
Potenzfunktion $$ f(x) = x^n \quad \text{ mit } n \in \mathbb{Z}\setminus\{0\} $$9
(= Parabel 5. Ordnung)

Abb. 2

Zusammenfassung der wichtigsten Eigenschaften (1)

Potenzfunktionen mit positiven ganzzahligen Exponenten haben folgende Eigenschaften:

$\mathbb{Z}$ 3
$\mathbb{Z}$ 4 $\mathbb{Z}$ 5 gerade $\mathbb{Z}$ 5 ungeradeDefinitionsmenge $\mathbb{Z}$ 7 $\mathbb{Z}$ 7Wertemenge $\mathbb{Z}$ 9 $0$ 0GraphParabel $f$ 7-ter OrdnungParabel $f$ 7-ter OrdnungSymmetrieachsensymmetrisch
(zur $f$ 2-Achse)punktsymmetrisch
(zum Koordinatenursprung)Gemeinsame
Punkte $0$ 4, $0$ 5, $0$ 6 $0$ 7, $0$ 5, $0$ 6Monotonie $x^0 = 1$ 0: streng monoton fallend
$x^0 = 1$ 1: streng monoton steigendstreng monton steigend

Potenzfunktionen mit negativen Exponenten

In diesem Abschnitt untersuchen wir folgende Funktionen: $x^0 = 1$ 2 mit $f$ 6.

Die Graphen von Potenzfunktionen heißen Hyperbeln $f$ 7-ter Ordnung, wenn der Exponent negativ ist.

Beispiel 5

Der Graph der Funktion $x^0 = 1$ 5 ist eine Hyperbel 2. Ordnung.

Beispiel 6

Der Graph der Funktion $x^0 = 1$ 6 ist eine Hyperbel 3. Ordnung.

Die Eigenschaften der Funktionen unterscheiden sich danach, ob die Exponenten gerade oder ungerade sind.

Gerade Exponenten

Beispiel 7

Als Beispiele dienen die Funktionen $x^0 = 1$ 5 und $x^0 = 1$ 8.

Um die Graphen besser zu zeichnen, berechnen wir zunächst einige Funktionswerte:

$x^0 = 1$ 9

Die Abbildung zeigt den Graphen der

Potenzfunktion $x^0 = 1$ 5
(= Hyperbel 2. Ordnung)
Potenzfunktion $x^0 = 1$ 8
(= Hyperbel 4. Ordnung)

Abb. 3

Ungerade Exponenten

Beispiel 8

Als Beispiele dienen die Funktionen $x^0 = 1$ 6 und $n = 0$ 3.

Um die Graphen besser zu zeichnen, berechnen wir zunächst einige Funktionswerte:

$n = 0$ 4

Die Abbildung zeigt den Graphen der

Potenzfunktion $x^0 = 1$ 6
(= Hyperbel 3. Ordnung)
Potenzfunktion $n = 0$ 3
(= Hyperbel 5. Ordnung)

Abb. 4

Zusammenfassung der wichtigsten Eigenschaften (2)

Potenzfunktionen mit negativen ganzzahligen Exponenten haben folgende Eigenschaften:

$n = 0$ 7
$\mathbb{Z}$ 4 $\mathbb{Z}$ 5 gerade $\mathbb{Z}$ 5 ungeradeDefinitionsmenge $f(x) = x^0 = 1$ 1 $f(x) = x^0 = 1$ 1Wertemenge $f(x) = x^0 = 1$ 3 $f(x) = x^0 = 1$ 4GraphHyperbel $f$ 7-ter OrdnungHyperbel $f$ 7-ter OrdnungSymmetrieachsensymmetrisch
(zur $f$ 2-Achse)punktsymmetrisch
(zum Koordinatenursprung)Gemeinsame
Punkte $0$ 4, $0$ 6 $0$ 7, $0$ 6Monotonie $x^0 = 1$ 0: streng monoton steigend
$x^0 = 1$ 1: streng monoton fallendstreng monoton fallendAsymptoten* $x$ -Achse, $f$ 2-Achse $x$ -Achse, $f$ 2-Achse

* Wenn sich der Graph einer Funktion immer mehr einer Gerade nähert (an eine Gerade anschmiegt), ohne sie zu schneiden, nennt man diese Gerade Asymptote.

Potenzfunktionen mit rationalen Exponenten

In diesem Kapitel haben wir uns auf Potenzfunktionen mit ganzzahligen Exponenten beschränkt. Wenn wir auch rationale Exponenten zulassen, kommen auch Brüche als Exponenten in Frage.

Was bedeutet X²?

x², x^2 oder ausgeschrieben als x·x - Der Term x hoch zwei heißt Potenz. Das x ist die Basis der Potenz, die 2 die Hochzahl der Potenz, auch Exponent gennant. Eine Kurzschreibweise ist x². Das meint: man hat eine Malkette aus zwei x'sen, kurz: x² = x·x.

Was ist X hoch 2 für eine Funktion?

Quadratische Funktion - Erklärung und Definition Bei einer quadratischen Funktion wird allgemein die Variable zum Quadrat genommen. Die einfachste Form ist die Normalparabel, die die Funktionsgleichung f(x) = x^2 besitzt.

Was ist X zum Quadrat?

x quadrat, kurz auch als x² oder x^2 geschrieben ist eine Abkürzung für x mal x, also kurz: x·x. Statt x quadrat sagt man auch x hoch zwei.

Wie nennt man Zahlen mit hoch 2?

Quadratzahlen sind natürliche Zahlen, die durch Multiplikation mit sich selbst entstehen. Quadratzahlen sind also Potenzen mit dem Exponenten 2. Bei der Multiplikation von Zahlen mit sich selbst entsteht eine Quadratzahl.