Wieso ableitung e x gleich e x

Die e-Funktion: Eigenschaften

Monotonie

Die e-Funktion ist streng monoton wachsend und das Wachstum ist exponentiell. Das bedeutet, dass die Funktion sehr schnell ansteigt. Je größer $x$ wird, desto größer wird auch der $y$-Wert, wie wir auf der Abbildung erkennen können:

Abbildung: e-Funktion, schnelles Wachstum

Schnittpunkte mit den Achsen

Die e-Funktion hat keine Nullstellen, da eine Potenz niemals Null sein kann. Also gilt stets $f(x)$ = $e$ x ≠ $0$. Ihr Graph nähert sich mit kleiner werdendem $x$ immer mehr der $x$-Achse und es gilt $\lim\limits_{x \to -∞} $ $e$x = $0$. Diese Achse ist also eine gerade Asymptote.

Der Graph dieser Funktion schneidet die $y$-Achse an der Stelle 1, da $f(0)$ = $e$0 = $1$ ist.

Umkehrfunktion

Die Umkehrfunktion der e-Funktion ist die natürliche Logarithmusfunktion. $f(x) = e^x$ , $f^{-1} (x) = ln (x)$

Gut zu wissen

Hinweis

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Umkehrfunktion von $f(x) = e^x$
$f^{-1}(x) =\log_e (x) = ln (x)$

Abbildung: Funktionen $\rightarrow f^{-1}(x) = ln (x)$. Beide sind Umkehrfunktionen und damit Spiegelbilder voneinander an der Geraden $y$ = $x$.

Definitions- und Wertemenge

Für $x$ dürfen wir jede reelle Zahl einsetzen. Das bedeutet, die Definitionsmenge ist: $D_f = \mathbb{R}$

Wie wir an dem Graphen sehen, verläuft er oberhalb der x –Achse, die Asymptote ist. Der Wertebereich ist also: $ W_f = \mathbb{R^+}$. Das sind alle positiven reellen Zahlen.

Die e-Funktion ableiten und eine Stammfunktion bilden

Die Ableitung und auch die Stammfunktion der e-Funktion bildet wieder eine e-Funktion:

Merke

Merke

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Ableitung: $f '(x) = e ^x $
Stammfunktion: $F (x) = e^x $

Doch wieso ist dies bei der e-Funktion der Fall?

Die allgemeine Ableitung von Exponentialfunktionen ist: $f(x) = a ^x$ $\rightarrow f ' (x) = a^x \cdot ln(a)$

Wenden wir dies auf $f(x) = e^x $ an, erhalten wir:

$ f ' (x) = (e^x)' = e^x \cdot ln(e) = e^x \cdot 1 = e^x $

Mit den Übungsaufgaben kannst du dein neu erworbenes Wissen zum Ableiten von Exponentialfunktionen prüfen. Ich wünsche dir viel Erfolg dabei!

Video: Simon Wirth

Text: Chantal Rölle

Bei der Exponentialfunktion

\$f(x)=a^x, a>0\$

wird \$a\$ als Basis und \$x\$ als Exponent bezeichnet.

Diese ist nicht mit der Potenzfunktion zu verwechseln, die die Form \$f(x)=x^n\$ hat, für welche wir bereits die Ableitungsregel \$f'(x)=n * x^{n-1}\$ kennen.

Um eine Ableitungsregel für eine Exponentialfunktion der Form \$f(x)=a^x\$ zu finden, gehen wir wie üblich vor: wir stellen den Differenzialquotienten auf und versuchen damit eine Regel zu erkennen:

\$f'(x)=lim_{h->0} {f(x+h)-f(x)}/h=\$

\$lim_{h->0} {a^{x+h}-a^x}/h=lim_{h->0} {a^x*a^h-a^x}/h\$

Hier haben wir eines der Potenzgesetze verwendet, das uns erlaubt \$a^{x+h}\$ als \$a^x * a^h\$ zu schreiben. Somit können wir nun \$a^x\$ ausklammern und, da es nicht von \$h\$ abhängt, vor den Limes ziehen, so dass man den Ausdruck

\$a^x*lim_{h->0} {a^h-1}/h\$

erhält. Nun verwenden wir einen kleinen "Trick": Wenn wir die Zahl \$1\$ durch \$a^0\$ ersetzen, bleibt der Ausdruck

\$a^x*lim_{h->0} {a^h-a^0}/h\$

übrig, wobei \$lim_{h->0} {a^h-a^0}/h\$ nach der Definition der Ableitung nichts anderes ist, als die Ableitung von \$f(x)=a^x\$ an der Stelle 0, also \$f'(0)\$.

Insgesamt haben wir als Ableitung von \$f(x)=a^x\$ den Ausdruck

\$f'(x)=a^x * f'(0)=f(x)*f'(0)\$. \$ox\$

Dieses Ergebnis ist nicht wirklich zufriedenstellend: da benötigt man für die Ableitung an der Stelle x die Ableitung der Funktion an der Stelle 0! Und genau diese Ableitung haben wir noch nicht!

Deshalb sind wir hier noch nicht fertig und suchen einen anderen Weg: in der Herleitung kam gerade der Ausdruck \$lim_{h->0} {a^h-a^0}/h\$ vor; können wir vielleicht eine Basis a so wählen, dass dieser Limes die Zahl 1 ergibt? Dazu folgender Ansatz:

\$lim_{h->0} {a^h-a^0}/h=lim_{n->oo} {a^{1/n}-1}/{1/n}\$

Anstatt \$h\$ gegen 0 gehen zu lassen, kann man ebenso gut das \$h\$ durch \$1/n\$ ersetzen, wenn man das \$n\$ gegen \$oo\$ laufen lässt. Und wegen \$a^0=1\$ haben wir wieder die 1 statt des \$a^0\$ im Term stehen.

Und dieser Grenzwert soll gleich 1 sein:

\$lim_{n->oo} {a^{1/n}-1}/{1/n}=1\$

Für die folgende prinzipielle Herleitung lassen wir den Limes hier weg und lösen den Term nach a auf:

\${a^{1/n}-1}/{1/n}=1 | *(1/n)\$

\$a^{1/n}-1=1/n | +1\$

\$a^{1/n}=root(n)(a)=1+1/n \$

Potenziert man die Gleichung nun auf beiden Seiten mit \$n\$, so erhält man

\$a=(1+1/n)^{n}\$

Setzt man für \$n\$ nun immer größere Werte ein, so wird man überrascht feststellen, dass dieser Ausdruck gegen einen bestimmten Wert zu streben scheint:

Diese besondere Zahl wird als Eulersche Zahl bezeichnet und mit dem Buchstaben \$e\$ bezeichnet.

Die Eulersche Zahl hat näherungsweise den Wert \$e=2,71828\$ und die Funktion \$e^x\$ wird als e-Funktion oder natürliche Exponentialfunktion bezeichnet.

Somit haben wir die besondere Basis \$e\$ gefunden, für die gilt, dass die Ableitung von \$e^x\$ an der Stelle 0 gleich 1 ist. In Verbindung mit der Gleichung \$ox text( )\$ von oben erhält man für \$f(x)=e^x\$ die Ableitung \$f'(x)=e^x *1=e^x=f(x)\$.

Dadurch gilt natürlich auch: \$f''(x)=e^x\$ und \$f'''(x)=e^x\$, usw.

Mit \$e^x\$ liegt also eine Funktion vor, die die besondere Eigenschaft hat, dass sie mit all ihren Ableitungen identisch ist!

Ableitung der e-Funktion:

Für die e-Funktion \$f(x)=e^x\$ mit \$e\$ als Eulersche Zahl gilt:

\$f'(x)=e^x=f(x)\$

Vertiefung:

Wir haben gesehen, dass \$lim_{n->oo} (1+1/n)^{n}\$ gegen \$e\$ strebt. Man kann etwas allgemeiner auch zeigen, dass \$lim_{n->oo} (1+a/n)^{n}\$ gegen \$e^a\$ läuft. Um dies nachvollziehbar zu machen, wiederholen wir die numerische Näherung mit \$n_0=1 000 000 000\$ für verschiedene Werte von a und notieren daneben \$e^a\$:

Die Werte zeigen, dass diese Aussage zu stimmen scheint.

Die Tatsache, dass \$lim_{n->oo} (1+a/n)^{n}=e^a\$ ist, werden wir für die Herleitung der Ableitung der natürlichen Logarithmusfunktion verwenden.

Warum macht man die zweite Ableitung?

Was sagt mir die erste und zweite Ableitung?

Was ist die Ableitung von E hoch?

Wie leite ich exp ab?