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Ein Parallelogramm (von altgriechisch παραλληλό-γραμμος paralleló-grammos „von zwei Parallelenpaaren begrenzt“) oder Rhomboid (rautenähnlich) ist ein konvexes ebenes Viereck, bei dem gegenüberliegende Seiten parallel sind. Parallelogramme sind spezielle Trapeze und zweidimensionale Parallelepipede. Rechteck, Raute (Rhombus) und Quadrat sind Spezialfälle des Parallelogramms. Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Ein Viereck ist genau dann ein Parallelogramm, wenn eine der folgenden Bedingungen erfüllt ist:
Für jedes Parallelogramm gilt:
Alle Parallelogramme, die mindestens eine Symmetrieachse besitzen, sind Rechtecke oder Rauten. Formeln[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Beweis der Flächenformel für ein Parallelogramm[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Animation zur Berechnung des Flächeninhalts eines Parallelogramms. Der Flächeninhalt ist gleich dem Produkt der Länge einer Grundseite mit der zugehörigen Höhe . Vom großen Rechteck werden sechs Teilflächen abgezogen Den Flächeninhalt des nebenstehenden schwarzen Parallelogramms kann man erhalten, indem man von der Fläche des großen Rechtecks die sechs kleinen Flächen mit bunten Kanten abzieht. Wegen der Symmetrie und der Vertauschbarkeit der Multiplikation kann man auch vom großen Rechteck das Doppelte der drei kleinen Flächen unterhalb des Parallelogramms abziehen. Es ist also: Parallelogrammgitter[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Parallelogramme können ein Gitter in der Ebene bilden. Wenn die Kanten gleich lang sind oder die Winkel rechte Winkel sind, ist die Symmetrie des Gitters höher. Diese repräsentieren die vier zweidimensionalen Bravais-Gitter.
Das Parallelogrammgitter ist eine Anordnung von unendlich vielen Punkten in der zweidimensionalen euklidischen Ebene. Diese Punktmenge kann formal als die Menge geschrieben werden, wobei die Vektoren , die Richtungsvektoren zwischen benachbarten Punkten sind. Das Parallelogrammgitter entsteht durch eine affine Abbildung aus dem Quadratgitter.[1] Das Parallelogrammgitter ist zweizählig drehsymmetrisch, also punktsymmetrisch. Außerdem ist es translationsymmetrisch für alle Vektoren im zweidimensionalen euklidischen Vektorraum. Konstruktion eines Parallelogramms[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Ein Parallelogramm, bei dem die Seitenlängen und sowie die Höhe gegeben ist, ist mit Zirkel und Lineal konstruierbar. Parallelogramm mit den gegebenen Seitenlängen und sowie der Höhe . Für die Konstruktion des rechten Winkels ist der Punkt frei wählbar. Animation mit einer Pause von 10 s am Ende. Verallgemeinerungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Eine Verallgemeinerung auf Dimensionen ist das Parallelotop, erklärt als die Menge sowie deren Parallelverschiebungen. Die sind dabei linear unabhängige Vektoren. Parallelotope sind punktsymmetrisch. Das dreidimensionale Parallelotop ist das Parallelepiped. Seine Seitenflächen sind sechs paarweise kongruente und in parallelen Ebenen liegende Parallelogramme. Ein Parallelepiped hat zwölf Kanten, von denen je vier parallel verlaufen und untereinander gleich lang sind, und acht Ecken, in denen diese Kanten in maximal drei verschiedenen Winkeln zueinander zusammenlaufen. Satz von Varignon[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Für jedes Viereck ABCD ist das Mittenviereck EFGH ein Parallelogramm. Nach dem Satz von Varignon gilt: Wenn man die Mittelpunkte benachbarter Seiten eines Vierecks verbindet, dann erhält man ein Parallelogramm. Beweis[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Nach Definition gilt . Betrachte das Dreieck ABC. Es ist ähnlich zum Dreieck EBF. Nimmt man den Punkt B als Zentrum einer zentrischen Streckung, werden A auf E und C auf F mit dem Faktor abgebildet. Wegen der Eigenschaften der zentrischen Streckung sind Bildstrecke und ursprüngliche Strecke parallel. Also ist . Ebenso zeigt man, dass , , und . Die Parallelität in der euklidischen Ebene ist eine Äquivalenzrelation und damit transitiv. Also ist und . Die gegenüber liegenden Seiten des Vierecks EFGH sind parallel, was der Definition eines Parallelogramms entspricht. Eine andere Möglichkeit ist, mit dem Strahlensatz zu beweisen, dass und ist, d. h. dass die gegenüber liegenden Seiten des Vierecks EFGH gleich lang sind. Nach dem Strahlensatz gilt außerdem: Der Umfang des Parallelogramms EFGH ist genau so groß wie die Summe der Diagonalenlängen im Viereck ABCD. Die Fläche des Parallelogramms EFGH ist halb so groß wie die Fläche des Vierecks ABCD.[2] Verwendung in der Technik[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Parallelogramme finden sich häufig in der Mechanik. Durch vier Gelenke kann eine bewegliche, parallelentreue Lagerung hergestellt werden, die sogenannte Parallelogrammführung. Beispiele: Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Wiktionary: Rhomboid – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen
Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Wie nennt man ein Viereck mit gleich langen Seiten?Ein Viereck mit vier gleich langen Seiten heißt Raute (Rhombus).
Welches Viereck hat nur zwei gleich lange Seiten?Übersicht über die Vierecke. Sind bei einer Raute alle Seiten gleich lang?Eine Raute (Experten sagen auch Rhombus und im Plural Rhomben) ist ein besonderes Viereck, dessen vier Seiten alle gleich lang sind. Die gegenüberliegenden Seiten sind parallel und die gegenüberliegende Winkel sind gleich groß.
Hat ein Parallelogramm vier gleich lange Seiten?Wenn ein Parallelogramm vier rechte Winkel hat, ist es ein Rechteck. Wenn ein Parallelogramm vier gleich lange Seiten hat, ist es eine Raute. Wenn ein Parallelogramm vier rechte Winkel und außerdem vier gleich lange Seiten hat, ist es ein Quadrat.
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Alle gegenüberliegende seiten eines vierecks gleich lang
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